多項式の基本の続きです。 ・次数 復習ですが、 $${ax^2}$$の次数は、 $${ax^2=a \times x \times x}$$ と文字が3回かけ算されているので、3次式です。 しかし、これは係数が$${a}$$である$${x}$$の2次式とみなすことができます。 $${3x^2}$$だったり、$${-2x^2}$$などは2次式ですが、 この$${x^2}$$の係数がわからない場合、$${a}$$などとおいて、 $${ax^2}$$などと 表すことに
用語 ・多項式 (たこうしき) ・項 (こう) ・単項式 (たんこうしき) ・係数 (けいすう) ・定数項(ていすうこう) ・次数 (じすう) ・n次式 (nじしき) ・同類項 (どうるいこう) ・降べきの順 (こうべきのじゅん) ・多項式 $${2x+3}$$ $${-3x^2+x+1}$$ $${-3x^2 y+xy^3+5y+xy-4x-1}$$ のような式を多項式といいます。 ・項 多項式$${-3x^2 y+xy^3+5y+xy-4x-1}$$の $${
$${x^a}$$の微分です。 $$ (x^a)' =ax^{a-1} $$ ・$${ (\log |x|)' = \frac{1}{x}}$$ を利用 $$ y =x^a \\ \\ \log |y|= log|x^a| \\ \\ \log |y|= a \log|x| \\ \\ \frac{d}{dx}\log |y|= \frac{d}{dx}(a \log|x|) \\ \\ \frac{y'}{y}= a \cdot \frac{1}{x}
$${\log_a x}$$の微分です。 $$ (\log_a x)' =\frac{1}{x \log a} $$ ・$${ \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e}$$ を利用 定義に従って微分 $$ (\log_a x)' =\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\log_a (x+h) - \log_a x}{h} \\ \\
$$ \sqrt[m]{x^n} = x^{\frac{n}{m}} $$ の微分です。($${m}$$は自然数、$${n}$$は整数) $$ (x^{\frac{n}{m}})' =\frac{n}{m}x^{\frac{n}{m}-1} $$ ① ・$${x^n}$$の微分(←$${n \geqq 0}$$、→$${n \leqq -1}$$) ・合成関数の微分 ② ・$${x^n}$$の微分 ・$${x^\frac{1}{n}}$$の微分 ・合成関の微分 をそ
$$ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} $$ の微分です。($${n}$$は自然数) $$ (\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \\ \\ \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space =\frac{1}{nx^\frac{n-1}{n}} \\ \\ \space \space
商の微分です。 $$ ( \space \frac{f(x)}{g(x)} \space )'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{ \{ g(x) \}^2 } $$ ① ・積の微分 $$ ( \space f(x)g(x) \space )' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$ ・逆数関数の微分 $$ \{\frac{1}{g(x)} \}' = -\frac{g'(x)}{ \{ g(x) \}^2 } $$ を利用
商の微分のうち、逆数関数($${ \frac{1}{g(x)} }$$)の微分です。 $$ ( \space \frac{1}{g(x)} \space )'= -\frac{g'(x)}{ \{ g(x) \}^2 } $$ ①定義に従って微分 ・$${x^n}$$の微分 $$ (x^n)' = nx^{n-1} $$ を利用。 $$ ( \space \frac{1}{g(x)} \space )'= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{
だいぶ前に、平成教育委員会という勉強のバラエティ番組で取り上げられていた問題について書きます。 確率の問題です。 当時の映像をちゃんと見て問題文を確認しないといけないのですが、ネットで調べたところ、このような問題だったようです。 問題 子どもが2人いる人に、子どもの性別を尋ねたら、1人は男の子、と答えました。 もう1人の子どもが女の子である確率は？ という問題でした。 いかがでしょうか？おわかりになるでしょうか。 番組としては、解答者や視聴者が、普通に考えて$${
$${ \frac{1}{x^n} = x^{-n} }$$の微分です。($${n}$$は自然数) $$ ( \space \frac{1}{x^n} \space )' = -\frac{n}{x^{n+1}} \\ \\ (x^{-n})' = -nx^{-n-1} $$ ・$${x^n}$$の微分 $$ ( \space x^n \space )' = nx^{n-1} $$ はすべてで利用。 ① ・定義に従った微分 ② ・合成関数の微分 ③ ・商の微分
人によって認識というのは大きく違います。 その中でも、多くの人に共通するものも当然ですが多いです。 数字の1から9を認識しているというのは一般的なことですし、九九が言えるというのも多くの人にできることです。 分数の計算ができる、1次方程式が解ける、2次関数の平方完成ができる、等比数列の和の公式が言える、と、 レベルが上がっていくと該当者の割合が減っていきます。 ここまでは簡単、当たり前だけど、これはわからない。 というレベルは、人によって変わってきます。 数学に限らな
$${x^n}$$の微分 $$ ( \space x^n \space ) ' = n x^{n-1} $$ 今回はnが0以上の整数の$${x^n}$$について。 今回は2通りの方法をやります。 使うものはそれぞれ以下です。 ① ・二項定理 ② ・数学的帰納法 ・積の微分 ① ・二項定理 $$ (a+b)^n = \sum_{r=0}^n {}_n C_r a^{n-r} b^r $$ を利用。 ⑴$${n=0}$$のとき $${ x^0=1 (x \neq
積の微分 $$ ( \space f(x)g(x) \space )’ = f’(x)g(x)+f(x)g’(x) \\ \space \\ $$ $$ \frac{d}{dx} \{ \space f(x)g(x) \space \} \\ \space \\ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ \space \\ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x
和の微分と定数倍の微分です。当たり前に使っていることだと思いますが、成り立つことを確かめておくことは大事です。 ①和の微分 $${ ( \space f(x)+g(x) \space )' = f'(x) + g'(x)}$$ ②定数倍の微分 $${ ( \space kf(x) \space )' = kf'(x) }$$ ①和の微分 $$ ( \space f(x)+g(x) \space )' = \lim_{h \rightarrow 0} \
$$ \frac d {dx} \{ f \circ g(x) \} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \circ g(x+h)-f \circ g(x)}{h} \\ \\ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \\ \\ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f( g(x) +\{g(x+h)-g(x) \})-f(g(x))}{h} \\ \\
高校数学の範疇で$${a^x}$$の導関数を定義に従って求めようと思います。 普通は$${\log_a x}$$の逆関数の微分として導出されるので、このように考える必要はありません。というより実は実質的に同じことをしています。 ただ、やるとしたらどうすればいいのか？というようなことを考えたことのある人はいるのではないでしょうか。 $$ \frac{d}{dx} a^x = \lim_{h\rightarrow 0}{\frac{a^{x+h}-a^x}{h}}\\ \\
