x^(n/m) (m乗根xのn乗)の微分

$$
\sqrt[m]{x^n} = x^{\frac{n}{m}}
$$

の微分です。($${m}$$は自然数、$${n}$$は整数)

$$
(x^{\frac{n}{m}})' =\frac{n}{m}x^{\frac{n}{m}-1}
$$

①
・$${x^n}$$の微分(←$${n \geqq 0}$$、→$${n \leqq -1}$$)
・合成関数の微分

②
・$${x^n}$$の微分
・$${x^\frac{1}{n}}$$の微分
・合成関の微分

をそれぞれ利用。

①

・$${x^n}$$の微分

$$
( \space x^n \space )' = nx^{n-1}
$$

・合成関数の微分

$$
( \space \ f(g(x)) \space )'=f'(g(x))g'(x)
$$

を利用。

$$
y=x^{\frac{n}{m}}
\\  \\
y^m= x^n
\\  \\
\frac{d}{dx} y^m = \frac{d}{dx} x^n
\\  \\
my^{m-1}y' = nx^{n-1}
\\  \\
y' = \frac{nx^{n-1}}{my^{m-1}}
\\  \\
= \frac{nx^{n-1}}{m ( {x^{\frac{n}{m}}} )^{m-1}}
\\  \\
=\frac{nx^{n-1}}{mx^{n-\frac{n}{m}}}
\\  \\
=\frac{n}{m}x^{\frac{n}{m}-1}　　//
$$

②
・$${x^n}$$の微分
・$${x^\frac{1}{n}}$$の微分

$$
(x^{\frac{1}{n}})' =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
$$

・合成関の微分

を利用。

$$
\{ x^{\frac{n}{m}} \}'= \{ (x^{\frac{1}{m}})^n \}'
\\ \\　 \\ = n(x^{\frac{1}{m}})^{n-1}(x^{\frac{1}{m}})'
\\ \\　 \\ = n(x^{\frac{1}{m}})^{n-1} \cdot \frac{1}{m}x^{\frac{1}{m}-1}
\\ \\　 \\ = nx^{\frac{n}{m}-\frac{1}{m}} \cdot \frac{1}{m}x^{\frac{1}{m}-1}
\\ \\　 \\ = \frac{n}{m}x^{\frac{n}{m}-1}
　　//

$$