n次関数(x^n)の微分

$${x^n}$$の微分

$$
( \space x^n \space ) ' = n x^{n-1}
$$

今回はnが0以上の整数の$${x^n}$$について。
今回は2通りの方法をやります。
使うものはそれぞれ以下です。
①
・二項定理

②
・数学的帰納法
・積の微分

①
・二項定理

$$
(a+b)^n = \sum_{r=0}^n {}_n C_r a^{n-r} b^r
$$

を利用。

⑴$${n=0}$$のとき
$${ x^0=1 (x \neq 0) }$$(※)
定数関数$${f(x)=1}$$（$${x}$$はすべての実数）について

$$
f'(x)=( \space 1 \space ) ' = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1-1}{h} \\ \space \\ = 0
$$

⑵$${n=1}$$のとき

$$
( \space x \space ) ' = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)-x}{h} \\ \space \\ = \lim_{h \rightarrow 0} 1 \\ \space \\ = 1
$$

⑶$${n \geqq 2}$$のとき

$$
( \space x^n \space ) ' = \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \\ \space \\ = \lim_{h \rightarrow 0}  \displaystyle  \frac{ \displaystyle \sum_{r=0}^n {}_n C_r x^{n-r} h^r-x^n}{h} \\ \space \\ =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \displaystyle  ( {}_n C_0 x^{n-0} h^0 +  \displaystyle \sum_{r=1}^n {}_n C_r x^{n-r} h^r ) -x^n}{h} \\ \space \\ =\lim_{h \rightarrow 0} \displaystyle \frac{ ( x^n +  h \displaystyle  \sum_{r=1}^n {}_n C_r x^{n-r} h^{r-1} ) -x^n}{h} \\ \space \\ = \lim_{h \rightarrow 0} \displaystyle  \sum_{r=1}^n {}_n C_r x^{n-r} h^{r-1} \\ \space \\ = \lim_{h \rightarrow 0} \{ {}_n C_1 x^{n-1} h^{1-1} +\sum_{r=2}^n {}_n C_r x^{n-r} h^{r-1} \} \\ \space \\ = \lim_{h \rightarrow 0} \{ n x^{n-1} +h \sum_{r=2}^n {}_n C_r x^{n-r} h^{r-2} \} \\ \space \\ = n x^{n-1}
$$

②
・数学的帰納法
・積の微分

$$
( \space f(x)g(x) \space )' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
$$

を利用。

n=0,1については①の⑴、⑵と同様。

$$
( x^2 )' = ( x \cdot x )' \\ \space \\ = 1 \cdot x + x \cdot 1 \\ \space \\= 2x \\ \space \\= 2x^{2-1}
$$

$${k \geqq 2}$$のとき、
$${ ( \space x^k \space ) ' = k x^{k-1} }$$と仮定すると、

$$
( x^{k+1} )' = ( x \cdot x^k )' \\ \space \\ = 1 \cdot x^k + x \cdot kx^{k-1} \\ \space \\= x^k + kx^k \\ \space \\= (k+1)x^k \\ \space \\= (k+1)x^{(k+1)-1}
$$

よって帰納的に$${( \space x^n \space ) ' = n x^{n-1} }$$

※細かい話なので読む必要はあまりなく、気にしなくてよいのですが、
実は$${x=0}$$のときについては、$${x^0}$$について定義がされていません。①⑶の$${\sum}$$内でも$${r=n}$$のときで現れるのですが、ここではすべて1と考えてよいです。いちおう、ちゃんとやるなら$${x  \neq 0}$$のときの証明は以上の通りで、$${x=0}$$のとき、

$$
f(x)=x^n \\ \space \\ f'(0)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(0+h)^n - 0^n}{h} \\ \space \\ = \lim_{h \rightarrow 0} h^{n-1} \\ \space \\ =0
$$

となり、$${n \geqq 2}$$で$${n x^{n-1}}$$を満たします。