有理関数1/(x^n)の微分

$${ \frac{1}{x^n} = x^{-n} }$$の微分です。($${n}$$は自然数)

$$
( \space \frac{1}{x^n} \space )' = -\frac{n}{x^{n+1}}
\\　\\
(x^{-n})' = -nx^{-n-1}
$$

・$${x^n}$$の微分

$$
( \space x^n \space )' = nx^{n-1}
$$

はすべてで利用。

①
・定義に従った微分

②
・合成関数の微分

③
・商の微分

④
・積の微分

をそれぞれ利用。

①定義に従って微分。

$$
( \space \frac{1}{x^n} \space )' = \lim_{ h \rightarrow 0 } \frac{\frac{1}{(x+h)^n}-\frac{1}{x^n}}{h} \\ \space \\ = \lim_{ h \rightarrow 0 } \frac{1}{h} \cdot \frac{x^n-(x+h)^n}{x^n (x+h)^n} \\ \space \\ = -\lim_{ h \rightarrow 0 } \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \cdot \frac{1}{x^n (x+h)^n} \\ \space \\ = -(x^n)' \cdot \frac{1}{x^n x^n} \\ \space \\ = -n x^{n-1} \cdot \frac{1}{x^{2n}} \\ \space \\ = -\frac{n}{x^{n+1}} \\ \space \\ = -nx^{-n-1}　//
$$

②
・合成関数の微分

$$
( \space \ f(g(x)) \space )'=f'(g(x))g'(x)
$$

を利用。

⑴$${n=1}$$のとき

$$
( \space \frac{1}{x} \space )' = \lim_{ h \rightarrow 0 } \frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h} \\ \space \\ = \lim_{ h \rightarrow 0 } \frac{1}{h} \cdot \frac{x-(x+h)}{x(x+h)} \\ \space \\ = -\lim_{ h \rightarrow 0 } \frac{1}{x(x+h)} \\ \space \\ =-\frac{1}{x^2}
$$

⑵$${n \geqq 2}$$のとき

$$
( \space \frac{1}{x^n} \space )' =-\frac{1}{(x^n)^2} \cdot ( \space x^n \space )' \\ \space \\ =-\frac{1}{x^{2n}} \cdot nx^{n-1} \\ \space \\ =-\frac{n}{x^{n+1}} \\ \space \\ = -nx^{-n-1}　　//
$$

③
・商の微分

$$
( \space \frac{1}{g(x)} \space )' = -\frac{g'(x)}{ \{ g(x) \}^2 }
$$

を利用。
結局②(2)と同様。

$$
( \space \frac{1}{x^n} \space )' =-\frac{( \space x^n \space )'}{(x^n)^2} \\ \space \\ =-\frac{nx^{n-1}}{x^{2n}} \\ \space \\ =-\frac{n}{x^{n+1}} \\ \space \\ = -nx^{-n-1}　　//
$$

④
・積の微分

$$
( \space f(x)g(x) \space \space )' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
$$

を利用。

$$
y=\frac{1}{x^n} \\ \space \\ x^n y=1 \\ \space \\ \frac{d}{dx} (x^n y) = \frac{d}{dx}1 \\ \space \\ (x^n)'y + x^n y' = 0 \\ \space \\ n x^{n-1}y+x^n y' =0 \\ \space \\ n x^{n-1} \cdot \frac{1}{x^n} +x^n y' =0 \\ \space \\ \frac{n}{x} +x^n y' =0  \\ \space \\ y' = - \frac{n}{x^{n+1}} \\ \space \\ = -nx^{-n-1} \\ \space \\ \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space  \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space//
$$

・$${0}$$以上の整数$${n}$$における$${x^n}$$の微分と合わせて、すべての整数$${n}$$で

$$
( \space x^n \space )' = nx^{n-1}
$$