微分の基本公式

和の微分と定数倍の微分です。当たり前に使っていることだと思いますが、成り立つことを確かめておくことは大事です。

①和の微分
$${ ( \space  f(x)+g(x) \space  )' = f'(x) + g'(x)}$$

②定数倍の微分
$${ ( \space  kf(x) \space  )' = kf'(x) }$$

①和の微分

$$
( \space  f(x)+g(x) \space  )' = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \{ f(x+h)+g(x+h) \}-\{ f(x) + g(x) \}}{h} \\ \space \\= \lim_{h \rightarrow 0} \{ \frac {f(x+h)-f(x)} {h} + \frac {g(x+h)-g(x)} {h} \} \\ \space \\=f'(x) + g'(x)
$$

②定数倍の微分

$$
( \space  kf(x) )' = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ kf(x+h) - kf(x)}{h} \\ \space \\= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ k \{  f(x+h) - f(x) \} }{h} \\ \space \\= k \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} \\ \space \\ =kf'(x)
$$