対数関数 (log_a x)の微分

$${\log_a x}$$の微分です。

$$
(\log_a x)' =\frac{1}{x \log a}
$$

・$${ \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e}$$

を利用

定義に従って微分

$$
(\log_a x)' =\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\log_a (x+h) - \log_a x}{h}
\\  \\
=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \{\log_a (x+h) - \log_a x\}
\\  \\
=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \log_a \frac{x+h}{x}
\\  \\
=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \log_a (1+\frac{h}{x})
\\  \\
=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \log_a (1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}}
\\  \\
=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \log_a (1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h} \cdot \frac{1}{x}}
\\  \\
=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \log_a \{(1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}} \}^{\frac{1}{x}}
\\  \\
=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{1}{x}}  \log_a (1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}}
\\  \\
={\frac{1}{x}}  \log_a e
\\  \\
={\frac{1}{x}}  \frac{\log_e e}{\log_e a}
\\  \\
={\frac{1}{x}}  \frac{1}{\log a}
\\  \\
= \frac{1}{x\log a}
　　//
$$

特に、

$$
\{ \log x \}' = \{ \log_e x \}'
\\　\\
= \frac{1}{x\log e}
\\　\\
= \frac{1}{x}
$$

また、

合成関数の微分より、

$$
\{ \log (-x) \}' = \frac{1}{-x} \cdot (-x)'
\\　\\
= \frac{1}{-x} \cdot ( -1)
\\　\\
= \frac{1}{x}
$$

だから、

$${x>0}$$のとき

$$
(\log|x|)'=(\log x)' = \frac{1}{x} 
$$

$${x<0}$$のとき

$$
(\log|x|)'=\{\log (-x)\}' = \frac{1}{x} 
$$

より、

$${x \neq 0}$$で、

$$
(\log|x|)'= \frac{1}{x} 
$$

よって、

$$
\{ \log |f(x)| \}'= \frac{1}{f(x)} f'(x)
\\　\\
= \frac{f'(x)}{f(x)}
$$