積の微分

積の微分

$$
( \space f(x)g(x) \space )’ = f’(x)g(x)+f(x)g’(x) \\ \space \\
$$

$$
\frac{d}{dx}  \{ \space f(x)g(x) \space \} \\ \space \\ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ \space \\ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ \space \\ = \lim_{h \rightarrow 0} \{ \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}+ \frac{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \} \\ \space \\ = \lim_{h \rightarrow 0} \{ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot g(x+h) + f(x) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \} \\ \space \\ = f’(x)g(x)+f(x)g’(x)
$$