x^(1/n) (n乗根x)の微分

$$
\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}
$$

の微分です。($${n}$$は自然数)

$$
(\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}
\\ 　\\
\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space =\frac{1}{nx^\frac{n-1}{n}}
\\ 　\\
\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
$$

①
・$${x^n}$$の微分
・合成関数の微分

②
・定義に従った微分

$$
・a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+ a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots +b^{n-1} )
\\ \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space =(a-b)\displaystyle \sum_{r=0}^{n-1}{a^{n-r-1}b^r}

$$

をそれぞれ利用。

①

・$${x^n}$$の微分

$$
( \space x^n \space )' = nx^{n-1}
$$

・合成関数の微分

$$
( \space \ f(g(x)) \space )'=f'(g(x))g'(x)
$$

を利用。

$$
y=\sqrt[n]{x}
\\  \\
y=x^{\frac{1}{n}}
\\  \\
y^n = x
\\  \\
\frac{d}{dx} y^n = \frac{d}{dx} x
\\  \\
ny^{n-1}y' = 1
\\  \\
y' = \frac{1}{ny^{n-1}}
\\  \\
y' = \frac{1}{n ( {x^{\frac{1}{n}}} )^{n-1}}
\\  \\
y' =\frac{1}{nx^\frac{n-1}{n}}
\\  \\
y' =\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}
\\  \\
y' =\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}　　//
$$

②
・定義に従って微分

$$
( x^{\frac{1}{n}} )'= \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\{(x+h)^{\frac{1}{n}}-{x}^{\frac{1}{n} } \} }{h}
\\ \\　 \\ = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\{(x+h)^{\frac{1}{n}}-{x}^{\frac{1}{n} } \} \displaystyle  \sum_{r=0}^{n-1} \{(x+h)^{\frac{n-r-1}{n}}x^\frac{r}{n} \}}{h\displaystyle \sum_{r=0}^{n-1} \{(x+h)^{\frac{n-r-1}{n}}x^\frac{r}{n} \}}
\\ \\　 \\
= \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)-x}{h\displaystyle \sum_{r=0}^{n-1} \{(x+h)^{\frac{n-r-1}{n}}x^\frac{r}{n} \}}
\\ \\　 \\
= \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h}{h\displaystyle \sum_{r=0}^{n-1} \{(x+h)^{\frac{n-r-1}{n}}x^\frac{r}{n} \}}
\\ \\　 \\
= \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{\displaystyle \sum_{r=0}^{n-1} \{(x+h)^{\frac{n-r-1}{n}}x^\frac{r}{n} \}}
\\ \\　 \\
=\frac{1}{\displaystyle \sum_{r=0}^{n-1} x^{\frac{n-r-1}{n}}x^\frac{r}{n} }
\\ \\　 \\
\\
=\frac{1}{\displaystyle \sum_{r=0}^{n-1}  x^{\frac{n-1}{n}} }
\\ \\　 \\ \\ \\
=\frac{1}{nx^{\frac{n-1}{n}}}
\\ \\　 \\
=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}
\\  \\
=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}　　//

$$