商の微分①(逆数のみ)

商の微分のうち、逆数関数($${ \frac{1}{g(x)} }$$)の微分です。

$$
( \space \frac{1}{g(x)} \space )'= -\frac{g'(x)}{ \{ g(x) \}^2 }
$$

①定義に従って微分
・$${x^n}$$の微分

$$
(x^n)' = nx^{n-1}
$$

を利用。

$$
( \space \frac{1}{g(x)} \space )'= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{1}{g(x+h)}- \frac{1}{g(x)}}{h} \\ \space \\ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{g(x)-g(x+h)}{g(x)g(x+h)} \\ \space \\ = - \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \cdot \frac{1}{g(x)g(x+h)} \\ \space \\ = -g'(x) \cdot \frac{1}{ \{ g(x) \}^2 } \\ \space \\ = -\frac{g'(x)}{ \{ g(x) \}^2 }
$$

②
・$${ \frac{1}{x} }$$の微分

$$
( \space \frac{1}{x} \space )' = - \frac{1}{x^2}
$$

・合成関数の微分

$$
( \space f \circ g(x) \space )' = ( \space f ( g(x) ) \space )' = f'(g(x))g'(x)
$$

を利用。

$$
( \space \frac{1}{g(x)} \space )'= - \frac{1}{ \{ g(x) \}^2 } \cdot g'(x) \\ \space \\ = -\frac{g'(x)}{ \{ g(x) \}^2 }
$$

③
・積の微分

$$
( \space f(x)g(x) \space )' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
$$

を利用。

$$
y=\frac{1}{g(x)} \\ \space \\ y \space g(x) = 1 \\ \space \\ \frac{d}{dx} \{ \space y \space g(x) \space \} = 0 \\ \space \\ y' \space g(x) + y \space g'(x) = 0 \\ \space \\ y' \space g(x) + \frac{1}{g(x)} \cdot \space g'(x) = 0 \\ \space \\ y' = -\frac{g'(x)}{ \{ g(x) \}^2 }
$$