指数関数(a^x)を定義に従って微分

高校数学の範疇で$${a^x}$$の導関数を定義に従って求めようと思います。

普通は$${\log_a x}$$の逆関数の微分として導出されるので、このように考える必要はありません。というより実は実質的に同じことをしています。

ただ、やるとしたらどうすればいいのか？というようなことを考えたことのある人はいるのではないでしょうか。

$$
\frac{d}{dx} a^x = \lim_{h\rightarrow 0}{\frac{a^{x+h}-a^x}{h}}\\　\\=a^x \lim_{h\rightarrow 0}{\frac{a^h-1}{h}}\\ \\　 \\=a^x \lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{{\frac{h}{a^h-1}}}\\　 \\=a^x \lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{{\frac{\log_a {a^h}}{a^h-1}}}\\　 \\=a^x \lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{{\frac{\log_a { \{1+(a^h-1) \}} }{a^h-1}}}\\　 \\=a^x \lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{{\log_a { \{1+(a^h-1) \}}^{\frac{1}{a^h-1}}}}\\　 \\=a^x \lim_{h\rightarrow 0} {{\log_{{ \{1+(a^h-1) \}}^{\frac{1}{a^h-1}}}}}　a \\　 \\=a^x \log_e a \\　 \\=a^x \log a \\
$$