合成関数の微分

$$
\frac d {dx} \{ f \circ g(x) \} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \circ g(x+h)-f \circ g(x)}{h} \\　\\ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \\　\\ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f( g(x) +\{g(x+h)-g(x) \})-f(g(x))}{h} \\　\\ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f( g(x) +\{g(x+h)-g(x) \})-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot \frac {g(x+h)-g(x)} h \\　\\ = f'(g(x)) \space g'(x)
$$

これだとわかりづらいと思うので、

$${g(x)=u}$$, $${g(x+h)-g(x)=i}$$とおくと、
$${g(x+h)=g(x)+i=u+i}$$

$$
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \\　\\ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(u+i)-f(u)}{h} \\　\\ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(u+i)-f(u)}{i} \cdot \frac i {h} \\　\\ = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(u+i)-f(u)}{i} \cdot \frac {g(x+h)-g(x)} {h} \\　\\ = f'(u) \space g'(x) \\　\\ = f'(g(x)) \space g'(x)
$$