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四面体 $${OABC}$$ が $$ OA = 4, \quad OB = AB = BC = 3, \quad OC = AC = 2\sqrt{3} $$ を満たしているとする。$${P}$$ を辺 $${BC}$$ 上の点とし、$${\triangle OAP}$$ の重心を $${G}$$ とする。 このとき、次の各問に答えよ。 $${\overrightarrow{PG} \perp \overrightarrow{OA}}$$ を示せ。 $${P}$$
$${xy}$$ 平面上の 2 直線 $${L_1, L_2}$$ は直交し、交点の $${x}$$ 座標は $${\frac{3}{2}}$$ である。 また、$${L_1, L_2}$$ はともに曲線$${C: y = \frac{x^2}{4}}$$に接している。 このとき、$${L_1, L_2}$$ および $${C}$$ で囲まれる図形の面積を求めよ。
図の三角柱 $${ABC\text{-}DEF}$$ において、$${A}$$ を始点として、辺に沿って頂点を $${n}$$ 回移動する。 すなわち、この移動経路 $$ P_0 \rightarrow P_1 \rightarrow P_2 \rightarrow \dots \rightarrow P_{n-1} \rightarrow P_n \quad (\text{ただし } P_0 = A) $$ において、$${P_0P_1, P_1P_2, \dots,
$${5.4 < \log_4 2022 < 5.5}$$であることを示せ。ただし、 $${0.301 < \log_{10} 2 < 0.3011}$$であることは用いてよい。
$${P(x)}$$ を $${x}$$ についての整式とし、$${P(x)P(-x) = P(x^2)}$$ は $${x}$$ についての恒等式であるとする。 $${P(0) = 0}$$ または $${P(0) = 1}$$ であることを示せ。 $${P(x)}$$ が $${x - 1}$$ で割り切れないならば、$${P(x) - 1}$$ は $${x + 1}$$ で割り切れることを示せ。 次数が $${2}$$ である $${P(x)}$$ をすべて求め
$${n}$$ を $${2}$$ 以上の自然数とする。1 個のさいころを $${n}$$ 回投げて出た目の数を順に $${a_1, a_2, \dots, a_n}$$ とし、 $$ K_n = |1 - a_1| + |a_1 - a_2| + \dots + |a_{n-1} - a_n| + |a_n - 6| $$ とおく。また $${K_n}$$ のとりうる値の最小値を $${q_n}$$ とする。 $${K_2 = 5}$$ となる確率を求めよ。 $${
$${0}$$ 以上の整数 $${x}$$ に対して、$${C(x)}$$ で $${x}$$ の下 2 桁を表すことにする。 たとえば、$${C(12578) = 78}$$、$${C(6) = 6}$$ である。 $${n}$$ を $${2}$$ でも $${5}$$ でも割り切れない正の整数とする。 $${x, y}$$ が $${0}$$ 以上の整数のとき、$${C(nx) = C(ny)}$$ ならば、$${C(x) = C(y)}$$ であることを示せ。 $
四面体 $${OABC}$$ は次の 2 つの条件を満たしている。 (i) $${\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{OB} \perp \overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{AB}}$$ (ii) 4 つの面の面積がすべて等しい。 このとき、この四面体は正四面体であること
四面体 $${OABC}$$ があり、$${O}$$ を通り平面 $${ABC}$$ に平行な平面を $${\alpha}$$ とする。 また、辺 $${OC}$$ の中点を $${M}$$ とし、平面 $${ABM}$$ を $${\beta}$$ とする。 $${\alpha}$$ と $${\beta}$$ の交わりの直線を $${l}$$ とし、次の条件を満たす 2 つの点 $${P}$$ を $${P_1, P_2}$$ とするとき、 三角形 $${OP_1P_2
$${r}$$ を正の整数とする。親 1 人、子 $${r}$$ 人が次のようなゲームを行う。 まず、子 $${r}$$ 人が一度ずつさいころを投げて、出た目（1 ～ 6）を記入した券を受け取る。次に、$${n \geqq 6}$$ として 1 から $${n}$$ までの番号が 1 つずつ書かれた $${n}$$ 枚の札を箱に入れ，親が 1 枚取り出して，その札の番号を $${k}$$ とする。$${k > 6}$$ なら当たりは無し，$${k \leqq 6}$$ なら
$${\theta}$$ を $${0 < \theta < \pi}$$ を満たす実数とする。空間内の 4 点 $$ A(1, 0, 0), B(-1, 0, 0), C(\cos \theta, \sin \theta, 1), D(-\cos \theta, -\sin \theta, 1) $$ を頂点とする四面体 $${ABCD}$$ を考える。 （1）四面体 $${ABCD}$$ を平面 $${z = t (0 < t < 1)}$$
$${a, b, c > 0}$$ とする。 （1）不等式 $${8abc \leqq (a + b)(b + c)(c + a)}$$ を示せ。 （2）$${x = b + c - a}$$, $${y = c + a - b}$$, $${z = a + b - c}$$ とするとき、$${a, b, c}$$ をそれぞれ $${x, y, z}$$ で表せ。 （3）不等式 $${(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) \le
$${f(x) = \frac{1}{27}x^3(x - 5)^2}$$ とする。 （1）$${y = f(x)}$$ のグラフの概形を、極値を調べて描け。ただし、変曲点は求めなくともよい。 （2）$${y = f(x)}$$ と $${y = x}$$ の共有点はいくつあるか。
$${i}$$ は虚数単位を表すものとする。複素数 $${z}$$ に関する方程式 $$ z = \left( \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} \right) \overline{z} $$ の表す複素数平面上の図形を $${\ell}$$ とする。次の問いに答えよ。 問1 $${\ell}$$ は直線であることを証明せよ。 問2 直線 $${\ell}$$ に関して複素数 $${w}$$ と対称な点を $${w
