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整数の筆算

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除法の筆算の土台 |基礎計算研究所

除法の筆算の土台 |基礎計算研究所

÷1桁と÷複数桁の共通点、そして大きな相違点 乗法の際,複数桁×複数桁は、乗数の桁数分の「複数桁×1桁分」の計算が構成要素になっている。

 しかし÷複数桁の除法の筆算においては,÷1桁の筆算はその構成要素にはなっていない。ここが様相が異なるので注意が必要である。

 具体的に言うと,483×72を筆算するときは、483×7と483×2に分解して計算を進めるが、3674÷73の筆算は3674÷7と

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●10〜90台の一の位が1〜4/
 10〜80台の一の位が5〜9/
 95・96 ・ 97 ・ 98 ・ 99
●K方式(被除数除数 とも切り捨て)
 T方式(除数のみ四捨五入)
 D方式(被除数除数とも四捨五入)
各々
※ 九立商
※修正回数
●乗法
●減法

水道方式の文献

水道方式の文献

今後このシリーズで参照する文献増補 水道方式による計算体系 1971 遠山啓、銀林浩著 明治図書 
新版 水道方式入門 整数編 1971 遠山啓、銀林浩編 国土社
新版 水道方式入門 小数・分数編〔新装版〕 1992 遠山啓、銀林浩編 国土社
数学教育現代化の基礎 2 水道方式 1971 遠山啓、銀林浩編 国土社
数学の学び方・教え方(岩波新書) 1972 遠山啓著 岩波書店
わかるさんすうの教え

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筆算計算体系の理論~「水道方式」を手がかりに|基礎計算研究所

筆算計算体系の理論~「水道方式」を手がかりに|基礎計算研究所

部品の組合せとしての筆算 まずは徹底して分類し尽くすことである。

 勘ではなく分析の結果こうなる、ということをしたい。ただ、「水道方式」の型分けがそのまま使えるかというと,実はそうでもない。水道方式では筆算は十進位取り記数法を基盤にした計算法として、その桁で何が行われているかを考える。そして加減では3桁までの計算に習熟すればよいとして,例えば加法は144の型に分ける。こうした分類配列が見事である

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◆目次◆ 筆算研究室|基礎計算研究所

◆目次◆ 筆算研究室|基礎計算研究所

総則編筆算計算体系の理論~「水道方式」を手がかりに

筆算における0は4種類

★くり上がり・くり上がりを[桁またぎ]と呼ぶ
★型分けと配列のための理論

整数編加法・減法

加法・減法筆算の土台① くり上がり/くり下がりの扱い

加法・減法筆算の土台② 0の扱い

加法の筆算 ①加法筆算の部品

加法の筆算 ②各種の検討

加法の筆算 ③型分けと配列

減法の筆算 ①減法筆算の部品

減法の筆算

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÷1桁の0の扱い(4) 「たてる・かけるの0」と省略算 |基礎計算研究所

÷1桁の0の扱い(4) 「たてる・かけるの0」と省略算 |基礎計算研究所

「たてる・かけるの0」 「たてる・かけるの0」は、商の各位に0が立つ場合であり、たてるの0とかけるの0をまとめたのは、その位に0がたてば,0をかけるので自動的にかけるにも0があらわれる。セットにして扱ってよい。
 また、たてる・かけるの0は、「ひくの0」「おろすの0」に比べて「特殊感」が強い。0を立てたときに、ここに0を書いてよいのか、0と書いた場合に(省略算含めて)次どうするのか、ほかの各ステッ

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÷1桁の0の扱い(3) ひくの0 |基礎計算研究所

÷1桁の0の扱い(3) ひくの0 |基礎計算研究所

「ひくの0」は"末位”か”そうでないか”で違う つづいて「ひくの0」である。これは末位にあらわれる0と、末位以外(頭位・中位)にあらわれる0で異なる。そして、この分け方が「水道方式」と道が分かれるポイントでもある。

 というのは、筆算過程で最後に0と書くのか、0以外の数字を書くのかで、わり算の性質が異なる、と言ってよいからである。もったいぶった言い方をしたが、つまりこのわり算が「わり切れるか」「

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減法の筆算 ③型分け |基礎計算研究所

減法の筆算 ③型分け |基礎計算研究所

Level分け 加法と同様、減法の複合過程も、くり下がりを主な軸として、0の処理によって細分化する,という作業をしていくことにする。

 まず,くり下がりについてだが、

◆ くり下がりの有無
◆ 連続するくり下がりの有無
◆ 波及的くり下がり*の有無

*一の位へ波及的繰り下がり(東京書籍) [一の位の計算をするときに]波及的に繰り下がる減法(教育出版) 被減数に空位があり,波及的に繰り下がる減

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加法・減法筆算の土台③0の扱いその2「明示の0」「省略の0」|基礎計算研究所

加法・減法筆算の土台③0の扱いその2「明示の0」「省略の0」|基礎計算研究所

0は確かに特殊ではあるのだが・・・ 暗算やそろばんでいうと、0は[計算をしなくてもよい]という合図になる。もう少し細かくいうと[計算をせずに次の行程へ行ってよい]ということである。
 ところが筆算では、目に見えている0も、他の計算の構成要素とかわらず[計算結果を書いて、次の行程へ行く]という同等のものであることを,水道方式では示したのである。そして、むしろ構成要素である素過程の中に0に関係する計算

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長乗法・短乗法、長除法・短除法

長乗法・短乗法、長除法・短除法

 筆算の計算をめんどくさくする操作の1つがくり上がり・くり下がりの操作です。「筆算研究室」のnoteでは,くり上がり・くり下がりをまとめて桁またぎと名づけていますが,この桁またぎをかけ算・わり算の筆算のときにどのように書いて処理するか、考え方が2つあります。

 長乗法/短乗法、長除法/短除法です。

 長除法・短除法については啓林館の教員向け解説ページに説明があるので,引用します。

 しれっと

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学習者に提示する方策は1つにしぼるか複数提示して選ばせるか |基礎計算研究所

学習者に提示する方策は1つにしぼるか複数提示して選ばせるか |基礎計算研究所

仮商を立てる方法について、教科書会社でも割れているのは紹介した通りだが、いくつかある方法のうち教科書上では1つだけ提示するのか、複数提示して指導者・支援者や学習者に選択させるのかについても、分かれている。

学習者に提示するのは方策1つか複数か2020年度に改訂された教科書を見てみると、各社の教科書上の扱いは以下のとおりである。

●方法を1つのみ提示

◆「わる数切り捨て」(方法3)のみを提示 

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÷1桁の0の扱い(1) 総論 |基礎計算研究所

÷1桁の0の扱い(1) 総論 |基礎計算研究所

4つの0(おさらい) [0の扱い]については、筆算における0は4種類の稿でまとめてある。

 そこでは「開始の0/結果の0」と、「明示の0/省略の0」の2つの軸があって、最終的に4つの0に分類ができる、とした。

 そして計算のつまづきやすさ(これをあるいは水道方式の「特殊」さの強さと見立ててもよいのだが)を

γ < δ < Δ < Γ

と考えて、特に加減についてはこの原則の下、分類したものを

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÷1桁の0の扱い(2) おろすの0 |基礎計算研究所

÷1桁の0の扱い(2) おろすの0 |基礎計算研究所

[おろすの0]はすべて[明示の0] まず、[おろすの0][ひくの0][たてる・かけるの0]のうち、最後のプロセス[おろすの0]を見ていく。
 [おろすの0]が発生するのは、次のけたが[書いてある0(γ)]のときで、そのままおろして[書けばよい0(δ)]となる。[おろすの0]はすべて[明示の0]である。

(※)ただしこれは、整数÷整数=整商の筆算においては、と言う注釈をつけておかなければならない。

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÷2桁=整商1桁の指導順・問題配列 |基礎計算研究所

÷2桁=整商1桁の指導順・問題配列 |基礎計算研究所

 ÷1桁=整商複数桁の問題は、[たてる・かける][ひく][おろす]の0の扱いごとに分類して、導入順や配列を考えてみた。

 ÷2桁=整商1桁について、学習の順番・配列はどうしたらよいだろうか。これまで見てきたように、誤答の多くは[ひく][おろす]に集中するが、アルゴリズム的には[たてる]の課題が大渋滞している。÷2桁の[たてる]に関して、たてる位置(桁数)、仮商の見立て方(4流派、九立商)、修正の

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