行列計算を使わない線形代数 #10 〜 線形写像(その3) 固有値・固有空間・最小多項式
■定義10.1
ベクトル空間$${V}$$上の線形写像$${A:V\to V}$$に対して、部分空間$${W}$$が$${A(W)\subset W}$$を満たすとき、$${W}$$を$${A}$$の不変部分空間であるという。
■命題10.2
$${A:V\to V}$$を$${n}$$次元ベクトル空間$${V}$$上の線形写像とし、$${W}$$を$${A}$$の$${r}$$次元の不変部分空間であるとする。このとき、$${V}$$の基底$${\{e_1,\cdots, e_n\}}$$で、$${A}$$の表現行列が以下となるものが存在する:
$$
(A(e_1), \cdots, A(e_n) ) = (e_1,\cdots,e_n) \begin{pmatrix*}A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{pmatrix*}.
$$
ここで、$${A_{11}, A_{12}, A_{22}}$$はそれぞれ$${r\times r, r\times (n-r), (n-r)\times (n-r)}$$行列である。
とくに、$${A}$$の不変部分空間$${W_1, W_2}$$で$${V}$$が直和分解されるとき、すなわち$${V=W_1 \oplus W_2}$$のとき、
$$
(A(e_1), \cdots, A(e_n) ) = (e_1,\cdots,e_n) \begin{pmatrix*}A_{11} & O \\ O & A_{22} \end{pmatrix*}.
$$
となる基底$${\{e_1,\cdots, e_n\}}$$が存在する。ここで、$${A_{kk}}$$は$${r_k\times r_k}$$行列($${r_k=\mathrm{dim} W_k , k=1,2,}$$)である。
■定義10.3
$${K}$$-ベクトル空間$${V}$$上の線形写像$${A:V\to V}$$に対して、$${ A(v) = \lambda v}$$を満たす、$${v\in V}$$を$${A}$$の固有ベクトル、$${\lambda\in K}$$を$${A}$$の固有値という。ただし、$${v\ne 0_V}$$であるとする。
線形写像$${A}$$の固有値のなす集合を$${\sigma(A)}$$と書く。また、$${\lambda \in \sigma(A)}$$の固有ベクトルのなす集合(に$${0_V}$$を追加したもの)を$${\lambda}$$の固有空間と呼び、$${E_\lambda}$$と書く。$${\mathrm{dim} E_\lambda }$$を固有値$${\lambda}$$の自由度という。
■命題10.4
$${A:V\to V}$$をベクトル空間$${V}$$上の線形写像とし、$${\lambda, \mu \in \sigma(A)}$$とする。
(1) $${E_\lambda = \mathrm{Ker}(A-\lambda I)}$$. ここで、$${I: V \to V ; v\mapsto v}$$は恒等写像である。
(2) 固有空間$${E_\lambda}$$は$${A}$$の不変部分空間である。
(3) $${\lambda\ne\mu}$$ならば、$${E_\lambda\cap E_\mu= \{0_V\}}$$.
■命題10.5
有限次元ベクトル空間$${V}$$は線形写像$${A:V\to V}$$の固有空間で直和分解される、つまり$${\displaystyle V = \bigoplus_{\lambda\in\sigma(A)} E_\lambda}$$であるとする。いま、$${\sigma(A)=\{\lambda_1, \cdots, \lambda_r\}}$$とし、$${E_{\lambda_{k}}\, (k=1,\cdots,r )}$$の基底$${\{e_1^{(k)}, \cdots, e_{\ell_k}^{(k)}\}, \ell_k = \mathrm{dim}E_{\lambda_k}, }$$を選ぶ。
このとき、$${\{e_1^{(1)}, \cdots ,e_{\ell_1}^{(1)}, e_{1}^{(2)}, \cdots, e_{\ell_r}^{(r)} \}}$$は$${V}$$の基底になり、$${A}$$の表現行列は対角行列
$$
\begin{pmatrix*} \lambda_1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & \lambda_1& & & \\ & & &\lambda_2 & & \\ & & & & \ddots& \\ & & & & & \lambda_r \\\end{pmatrix*}
$$
になる。
■定義10.6
線形写像$${A:V\to V}$$の固有空間が有限次元ベクトル空間$${V}$$を直和分解するとき、$${A}$$は対角化可能であるという。
■定理10.7
有限次元ベクトル空間上の線形写像$${A}$$が対角化可能であるための必要十分条件は、
$$
\displaystyle
\prod_{\lambda\in\sigma(A)} (A-\lambda I ) = 0
$$
が成り立つことである。
■注意10.8
$${A}$$と$${I}$$は交換可能なので、定理10.7の左辺を$${A}$$の多項式として展開することができる。このとき、多項式の係数は$${K}$$である。
$${x}$$を変数とし、$${K}$$を係数とする多項式全体の集合を$${K[x]}$$と書く。いま$${\Phi(x)\in K[x]}$$に対して、$${x}$$を$${A}$$に、定数$${1}$$を恒等写像$${I}$$に置き換えた線形写像を$${\Phi(A)}$$と書く。すなわち、$${\Phi(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots a_1 x + a_0}$$のとき、
$$
\Phi(A) = a_n A^n + a_{n-1}A^{n-1} + \cdots + a_1 A + a_0 I.
$$
■定義10.9(線形写像の最小多項式)
$${\Phi(x) \in K[x]}$$であるとする。有限次元ベクトル空間上の線形写像$${A:V\to V}$$に対して、$${\Phi(A)}$$が$${A}$$の最小多項式であるとは、以下の(1)および(2)を満たす多項式の中で次数が最小のものをいう:
(1) $${\Phi(x)}$$の最高次数の係数は$${1}$$,
(2) $${V}$$上の線形写像として、$${\Phi(A)=0}$$.
定理10.7の証明については次回に回します。また、定理10.7の一般化も次回に紹介します(証明を書くかどうかは未定です….)。
■演習問題
【1】命題10.2, 10.4, 10.5を証明せよ。
【2】$${n}$$次元ベクトル空間上の線形写像の相異なる固有値が$${n}$$個であるとき、その線形写像は対角化可能であることを示せ。
【3】$${2\times 2}$$行列$${J}$$を$${J=\begin{pmatrix*}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix*}}$$とする。このとき以下の問いに答えよ。
(1) $${\mathbb{R}}$$-ベクトル空間$${\mathbb{R}^2}$$上の線形写像
$$
\begin{pmatrix*} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix*} \mapsto J \begin{pmatrix*} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix*}
$$
は対角化可能か?
(2) (1) の線形写像を$${\mathbb{C}}$$-ベクトル空間$${\mathbb{C}^2}$$上で考えたとき、対角化可能か?
<目次>
#0 連載の目的
#1 ベクトル空間とは
#2 ベクトルの一次独立・基底・次元
#3 ベクトル空間の基底とその変換
#4 線形写像(その1)〜定義と次元定理
#5 線形写像(その2)〜双対空間
#6 おまけ〜ベクトル空間の引き算としてのK群入門
#7 おまけ〜ベクトル空間の具体例:線形常微分方程式の解空間
#8 線形写像(その3)〜線形写像の共役
#9 おまけ:質点系の数理
#10 線形写像(その4)〜固有値・固有値・最小多項式
#11 おまけ:線形常微分方程式の解(行列の指数関数とLie群の視点から)
#12 線形写像(その5)〜対角化・最小多項式・一般化固有空間