マガジンのカバー画像

行列計算を使わない線形代数

13
本
運営しているクリエイター
yoshi-yoc

#線形代数数学概説

行列計算を使わない線形代数 #0

大学の初年度で学習する線形代数は、冒頭から連立方程式などを扱うためなのか、数学の初歩だと思われています。実際に演習で行うのも、行列の変形や連立方程式、行列式の計算、固有値・対角化の計算などと、どちらかというと計算中心になっています。大学のテキストもそのような構成になっているものがほとんどです。 しかし、線形代数は計算中心の応用数学ではありません。 いまの形で整備されたのは20世紀前半のことであり、線形代数は数学の中でも比較的新しい領域です。そのため代数だけではなく、関数解

yoshi-yoc

行列計算を使わない線形代数 #2 〜 ベクトルの一次独立・基底・次元

■定義2.1（ベクトルの線形結合） $${v_1, \cdots, v_k}$$を$${K}$$-ベクトル空間$${V}$$の$${k}$$個のベクトルとし、$${c_1, \cdots, c_k\in K}$$とする。これらを使って、スカラー倍と和で定義されるベクトル $$ c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k $$ を$${v_1, \cdots, v_k}$$の線形結合と呼ぶ。 ■定義2.2 $${X}$$をベクトル空間$${V}$$の部分集合

yoshi-yoc

行列計算を使わない線形代数 #3 〜 ベクトル空間の基底とその変換

$${V}$$を$${n}$$次元ベクトル空間、$${\{e_1,\cdots,e_n\}}$$をその基底であるとする。 いま$${v\in V}$$を基底$${\{e_1, \cdots, e_n\}}$$の線形結合$${v=\alpha_1 e_1 + \cdots + \alpha_n e_n}$$と書いたとき、$${\alpha_1, \cdots, \alpha_n}$$をその基底に関する成分と呼ぶ。成分を縦に並べた数ベクトル $$ \bm{a} = \begi

yoshi-yoc

行列計算を使わない線形代数 #4 〜 線形写像（その1） 線形写像の定義と次元定理

■定義4.1（線形写像） $${V,W}$$を$${K}$$-ベクトル空間とする。写像$${\varphi : V \to W}$$が線形写像であるとは、任意の$${v_1, v_2\in V}$$と$${\alpha_1, \alpha_2\in K}$$に対して、 $$ \varphi( \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 ) = \alpha_1 \varphi(v_1) + \alpha_2 \varphi(v_2) $$ が成り立つときにい

yoshi-yoc

行列計算を使わない線形代数 #5 〜 線形写像（その2） 双対空間

■定義5.1（再掲） $${V,W}$$を$${K}$$-ベクトル空間とする。$${V}$$から$${W}$$への線形写像全体の集合を$${\mathrm{Hom}(V,W)}$$と表す。特に、$${V=W}$$のとき、$${ \mathrm{Hom}(V) := \mathrm{Hom}(V, V) }$$と表す。 ■命題5.2 $${\varphi, \phi\in\mathrm{Hom}(V,W)}$$、$${\alpha\in K}$$に対して、その和$${\v

yoshi-yoc

行列計算を使わない線形代数 #7 〜 おまけ（ベクトル空間の具体例：線形常微分方程式の解空間）

$${\mathbb{R}^n}$$を$${n}$$次元数ベクトル空間とします。つまり、 $$ \mathbb{R}^{n} = \left\{ \bm{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \Biggm| \,\, x_1, \cdots , x_n \in \mathbb{R}  \right\}.  $$ $${\mathbb{R}}$$上のベクトル値関数$${\bm{f}:\mathbb{R}\t

yoshi-yoc

行列計算を使わない線形代数 #8 〜 線形写像（その3） 線形写像の共役

■定義8.1 $${V}$$を有限次元のベクトル空間とし、$${X}$$を$${V}$$の部分空間であるとする。このとき、$${X}$$の直行空間（annihilator）$${X^\perp}$$を $$ X^\perp := \{ f \in V^* \,\,|\,\, f(x)=0, \,\, \forall x \in X \} $$ で定義する。$${X^\perp}$$は$${V^*}$$の部分空間になる。 ■命題8.2 定義8.1の仮定のもとで、$${

yoshi-yoc

行列計算を使わない線形代数 #10 〜 線形写像（その3） 固有値・固有空間・最小多項式

■定義10.1 ベクトル空間$${V}$$上の線形写像$${A:V\to V}$$に対して、部分空間$${W}$$が$${A(W)\subset W}$$を満たすとき、$${W}$$を$${A}$$の不変部分空間であるという。 ■命題10.2 $${A:V\to V}$$を$${n}$$次元ベクトル空間$${V}$$上の線形写像とし、$${W}$$を$${A}$$の$${r}$$次元の不変部分空間であるとする。このとき、$${V}$$の基底$${\{e_1,\cdots

yoshi-yoc

行列計算を使わない線形代数 #11 〜 おまけ：線形常微分方程式の解（行列の指数関数とLie群の視点から）

$${n}$$次元ユークリッド空間$${\mathbb{R}^n}$$上の微分方程式 $$ \displaystyle \frac{d\bm{x}}{dt} = A(t) \bm{x}, \quad \bm{x}(0)=\bm{x}_0, \quad \quad \quad (1)  $$ を考えます。ここで、$${A(t) \in \mathbb{R}^{n\times n},t\in\mathbb{R}, }$$は$${n}$$次正方行列の1径数族（one-param

¥100
yoshi-yoc

行列計算を使わない線形代数 #12 〜 線形写像（その5） 対角化・最小多項式・一般固有空間

■定義12.1（再掲：対角化可能） 有限次元ベクトル空間上の線形写像$${A:V\to V}$$の固有空間$${E_\lambda , \lambda\in\sigma(A)}$$が$${V}$$を直和分解するとき、$${A}$$は対角化可能であるという。 ■定理12.2（再掲） 有限次元ベクトル空間上の線形写像$${A}$$が対角化可能であるための必要十分条件は、 $$ \displaystyle  \prod_{\lambda\in\sigma(A)} (A-\l

yoshi-yoc