２から３へ飛び、３から４へ飛ぶ時、桜色🌸はどう見えるだろうか
桜色🌸に染まる季節が近づきつつある。３次元に咲く花を見ることを学んだ私は、４次元の桜色を見ることは果たして可能だろうか？
(1) 中学生・高校生の学ぶ数学
中学生の数学では、１年生で１次方程式を、２年生で連立方程式を、３年生で２次方程式を学ぶ。
関数は１年生は比例・反比例、２年生は１次関数、３年生は２次関数を学ぶ。
つまり、方程式・関数に関しては基本的に平面しか扱わない。グラフは「Ｘ軸・Ｙ軸」、すなわち２次元だけである。
高校生になって、Ｘ軸・Ｙ軸にＺ軸が加わる。すなわち私たちの棲む３次元になる。
(2) 座標と次元
中学生で学ぶ関数は、基本的に平面のグラフ(２次元)で事足りる。だから、グラフはＸ軸とＹ軸があれば事足りる。直交する数直線であるＸ軸、Ｙ軸を用いて、交点を原点とし、原点から右方向に１、上方向に１の場所にある点は、
( 1, 1 )
のように表すことができる。
高校ではＸ軸、Ｙ軸にＺ軸を加えて、空間における座標を考える。
平面の時と同様に、３本の直交する直線の交点を原点とし、原点から右方向に１、上方向(北方向)に１、真上方向に１にある点の座標は
( 1, 1, 1 )
のように表すことができる。
私たちは３次元の世界に住んでいるから直感として理解できるのは、ゼロ次元(点)、１次元(数直線)・２次元(平面)・３次元(空間)の世界までである。
しかしながら、上で考えたように
１次元が( 1 )、
２次元が( 1 ,1 )、
３次元が( 1, 1, 1 )、、、と表せるのであれば、
４次元は( 1, 1, 1, 1 )、
５次元は( 1, 1, 1 ,1 ,1 )となるんだろうな、と想像することができる。
(3) 幾何的な理解から機械的・代数的定義への飛躍
数学においては、１次元が理解できたら２次元へ、２次元が理解できたら３次元へと歩を進める。
３次元に棲む私たちが可視化(グラフ化)できるのは、３次元までである。それ故に４次元以降は、３次元までの考察を踏まえて「機械的に定義」されるものである。換言すれば、幾何的な把握が可能なのは３次元までであり、４次元以降はもっぱら代数的な把握に頼るしかない。そして、機械的かつ代数的に定義されたことが、３次元の幾何的に把握された事実となんら矛盾することがないならば、極めて抽象的かつ代数的に一般化された定義は「正しい」ものとして扱う。
(4) 定義↔️再定義
数学では具体的な事例を元に定義したことを、抽象化して再定義することがある。そして、再定義されたことが元々の定義と矛盾することがなければ、それで良い。
たとえば中学生の時に学ぶ累乗は、同じものを何回掛けるのか、ということを表すと教えられる。
「２の５乗」ならば、
「２×２×２×２×２」のことだよ、のように。
そして、
「(２の５乗)➗(２の３乗)」は「２の２乗」になるが、「５－３」という計算をして「２」を求めて、「２×２」と結局同じになることを確認する。
そして高校では、こういう「指数法則」が成り立つとすれば、
(２の３乗)➗(２の５乗)ならば、
「３－５」を計算して、
「２の－２乗」になるねと。
この値は普通に計算すれば、「４分の１」だから、「２の－２乗」は「４分の１」と等しいということにしましょうとなる。
そして、
(２の２乗)➗(２の２乗)は、同じ数を同じ数で割ることに他ならないから「１」になることから「２－２＝０」、つまり「２の０乗」は「１」と定義しましょうという話になる。
「２の０乗」が「１」になるということを理解するとき、指数法則による累乗の再定義が行われている。これは証明してその正しさを納得するものではなく、再定義されたことが元々の定義となんら矛盾することがないから「正しいものとして認めましょうね」ということである。再定義されただけだということに気が付かないと「何で？何で？」となる。
結語
３次元の桜色と４次元の桜色。
今の私には、いまだ４次元の桜色をイメージすることができない。
(おしまい)
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