数学のWeb記事紹介① Keywords🔑: #ロンスキアン #行列積 #正則関数
日々の勉学、お疲れ様です☕ 教育学カジリのしがない一般人の Keshitan です！😆
ここでは、個人的に「はへぇ～面白いなぁ～～」と感じたWeb記事・動画などを皆様に共有しようと思います📝
一緒に知見を深めていきましょう！🎓
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１．ロンスキアンが意外なところに…？
学部で行列式を習った際,ある数式が頭を過った.
$${[f(x)g(x)]'=\dfrac{f'(x)g(x)−f(x)g'(x)}{g(x)^2}}$$
商の微分の分子である.
これを行列式を用いて表すと,
$${[f(x)g(x)]'=−\dfrac{\left|\raisebox{7pt}{$\:\:f(x)\:g(x)$}\hspace{-44pt}\raisebox{-5pt}{$f'(x)\:g'(x)$}\right|}{g(x)^2}}$$
となる.ロンスキアンを知っていれば
$${[f(x)g(x)]'=−\dfrac{W(f,g)}{g(x)^2}}$$
となる.ロンスキアンを微分ととらえると,なんとなく$${1/f}$$の微分$${-f'/f^2}$$のアナロジーであると気付けるだろう.
これ！めちゃくちゃ面白いですね。偶然なんだとは思いますが、こんな身近なところにロンスキアンが隠れているのが面白ポイントですね！
記憶術としてより補強できそうで個人的に嬉しいです🧐
２．行列積は添え字の○○○○
質問
行列の計算の順番に馴れないんですが、みんな最初は同じですか? 数3の積分は1週間ぐらいで慣れたけど。
回答
計算の順番？なんの？
積の計算のことなら、成分で書いたらこれが合理的と分かる。
$${A=[a_{ij}], B=[b_{ij}]}$$ として
$${AB = [ \sum_k a_{ik}b_{kj} ]}$$
添字がしりとりのようになっている。
行列積を”しりとり”という表現でまとめられているのが、個人的に面白いな～と思ったポイントです！
一般向けの書籍などである表現なんですかね？ 身近な例えとして盲点でした！
⠀
３．正則性から観える複素解析とベクトル解析
質問
複素関数の正則性と保存力場の条件 rot F=0 の関係は何ですか？正則関数では積分値が経路によらず一意に決まりますが、保存力場の仕事も同様です。この２つはどのように結びついていますか？
回答
正則な複素関数 f(z)=ϕ(x,y)−iψ(x,y) の実部 ϕ と虚部 ψ は調和関数（ラプラス方程式を満たす関数）です。これにより、正則性は保存力場条件 rot F=0 と発散条件 div F=0 の両方を満たすことに対応します。
具体的には、流体力学において渦のない非圧縮流れ（rot U=0, div U=0）の流速場を調和関数 ϕ, ψ で表現できます。この場合、複素関数 f(z)=ϕ−iψ を導入することで、流れ場が正則関数として記述されます。
要約：https://chatgpt.com/share/677d2a0f-d190-8013-9baa-ee32c7e9430b
こーれは凄くためになりました！
「むむ！”渦の無い非圧縮の流れ”！分かるぞ…！」
と色が付いて見えるのって嬉しいですよね。
自分も過去にベクトル解析では
$$
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\int_C f \,\d s=\int_a^bf(\bm{r}(t))\left|\dfrac{\d\bm r(t)}{\d t}\right|\d t
$$
と表現するのに、複素解析では
$$
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\int_C f \,\d z=\int_a^bf(z(t))\dfrac{\d z(t)}{\d t}\d t
$$
って表現するのなんなんだ！？と思ったので、ベクトル解析と複素解析はもっと仲良くしてほしいんですよね🤔
３行まとめ📌
$${\left(\dfrac{\:f\:}{g}\right)'=-\dfrac{W(f,g)}{g^2}}$$
（$${(1/f)'=-f'/f^2}$$のアナロジー）行列積は添え字の”しりとり”
正則関数のベクトル表現は”渦の無い非圧縮の流れ”
スキ、フォロー、コメントなどなどお待ちしております😆
以上、Keshitanでした！
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