スープの味は何通り？勝手に数学探究学習
今朝の報道番組で、あるラーメン店が紹介されていた。
「スープDOT」と呼ばれる、固形のスープの味のもとが１０種類あり、そこから最大３個までを選び、麺も３種類。
トッピングが５種類、後から入れるオイルも５種類あるそう。
その番組で「できるラーメンの組み合わせは○○通り！」って言っていたけれど、朝の忙しい中ですっかり忘れてしまった。
答えがわからなくなるとちゃんと解きたくなるのが、悲しき宿命。
今回はスープに限定して次のような問題を考えてみた。
１０種類あるスープDOTの中から、重複を許して３個まで選ぶ方法は何通りあるか。
ではここからが答えである。
スープDOTを何個選ぶか、その中で重複するかしないか、という点において以下の６通りに場合分けする。
（１）１個選ぶ方法
スープDOTは１０種類あるわけだから、この場合は１０通り。
（２）２個異なるものを選ぶ方法
１０種類ある中から２種類を選べばよいので、$${_{10}C_2=45}$$より、
この場合は４５通り。
（３）２個同じものを選ぶ方法
これは（１）と同じように考えられるので１０通り。
（４）３個すべて異なるものを選ぶ方法
１０種類ある中から３種類を選べばよいので、$${_{10}C_3=120}$$より、
この場合は１２０通り。
（５）３個のうち２個は同じものを選ぶ方法
１０種類ある中で２種類を選ぶ方法は$${_{10}C_2=45}$$より４５通り
その４５通りに対して、選んだ２種類のうちどちらを２個にするか決める方法は２通り。
したがって、３個のうち２個は同じものを選ぶ方法は$${45 \times 2=90}$$だから、９０通り
（６）３個のうちすべて同じものを選ぶ方法
これも（１）（３）と同じように考えられるので１０通り。
（１）～（６）までの場合をすべてあわせて
$${10+45+10+120+90+10=285}$$
すなわち、私が設定した問題の答えは２８５通りとなる。（解答終）
この答えに麺が３種類の中から１種類選べるということを条件に加えると
$${285 \times 3=855}$$だから、８５５通りのラーメンが楽しめることになる。
ネットのニュース見出しでは、スープと３種類の麺の組み合わせで「５００種類以上！」と書いてあるので、実際の注文の仕方と私の考えた問題設定が微妙に違うのでしょう。
「場合の数」は、他の単元と比べても問題設定がしやすく考えやすい単元で、ここに挙げた問題も結果としてちょうどいい演習問題になりそう。