集合論の観点から“掛け算”を定義しよう \\ #掛け算の数学的定義を求めて

“割合”を数学的に捉え直すために“割り算”を数学的に捉え直すために“掛け算”を数学的に捉え直してる．

が，冷静に考えると「掛け算の数学的定義ってなんだ？」という質問に答えられない．

「1箱に2個入ってるとき，3箱で6個」的な考え方は算数的な考え方で，数学的な考え方ではない．（算数的な考え方より数学的な考え方が欲しい理由は上の記事を参照

ということで，まだ全く結論の出ていない「“掛け算”の数学的定義」を考える過程を，リアルタイムで綴っていく．
最終的に結論に辿り着けるのかすら分からないが，ぜひお付き合いください．

ちなみに，一番簡単な「$${2\times3:=2+2+2}$$」という定義は考えないことにする．
これでは整数の範囲を出れないからだ．
（$${:=}$$は数学でよく用いられる記法で，$${2\times3:=2+2+2}$$は「$${2\times3}$$を$${2+2+2}$$で定義する」ということを意味する

類似する概念を参考にする

数学の集合論という分野では，「直積集合」という概念があり，記号も「$${\times}$$」を用いる．（集合=モノの集まり．モノのことを“要素”あるいは“元”と呼ぶ

短絡的だが，まずはこれを用いて数の積を定義することを考える．

自然数の定義

実は，集合で自然数を定義できる．

まず，$${1=\{0\}}$$とする．$${\{0\}}$$とは，$${0}$$のみを元に持つ集合のことだ．（このように元を$${\{\}}$$で括って書き並べる書き方のことを，外延記法という．
以下に，$${2}$$から$${6}$$までの定義を書いていく．

$$
\begin{align*}
2&=\{0,1\} \\
3&=\{0,1,2\} \\
4&=\{0,1,2,3,\} \\
5&=\{0,1,2,3,4\} \\
6&=\{0,1,2,3,4,5\}
\end{align*}
$$

直積集合

集合$${X, Y}$$に対して直積集合$${X \times Y}$$を，以下のように定義する．（この書き方を内延期方という

$$
X \times Y=\{(x, y)|x \in X, y \in Y\}
$$

この式は，例えば$${X=\{1,2\},Y=\{3,4,5\}}$$のとき，

$$
X \times Y=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}
$$

ということを意味する．

順序対

ここで，$${(x,y)}$$というのは順序対と呼ばれる概念で，その重要な性質として，以下のような性質がある．

$$
(x,y)=(x’,y’)\to x=x’\wedge y=y’
$$

これは，「$${(x,y)=(x’,y’)}$$ならば$${x=x’}$$かつ $${y=y’}$$」を表す．

順序対の普通の定義は，掛け算の定義に利用するのに適さないため，ここで，新しい順序対の定義を導入することを考える．

具体的には，$${(x,y):=x∪{x,y}}$$という定義が，上記の性質を満たすことを調べ，満たすのであれば，この定義を採用して掛け算を考えたい．

普通に自分で調べようと思ったのだが，試しに ChatGPTに聞いてみた．

User
数学的なフレームワークを基にしてください
###
(x,y):=x∪{x,y}
とするとき，以下の式が成り立つか調べてください．
(x,y)=(x’,y’)→x=x’∧y=y’


ChatGPT
この問題は、順序対の一般的な定義を用いた問題であり、数学的なフレームワークは集合論です。

まず、(x,y):=x∪{x,y} の定義に従って、左辺の式を展開します。
(x,y) = x ∪ {x,y} = {a | a∈x または a=x または a=y}

同様に、(x',y')の定義に従って、(x',y') = {a | a∈x' または a=x' または a=y'}

次に、(x,y)=(x',y')が成り立つ場合、左辺と右辺が同じ集合を表すので、以下のように置き換えられます。
{x | x∈x ∪ {x,y}, x∈x' ∪ {x',y'}} = {y | y∈x ∪ {x,y}, y∈x' ∪ {x',y'}}

これをさらに展開して、条件式を得ます。
(x∈x ∧ x∈x') ∧ (x∈y ∧ x∈y') ∧ (y∈x ∧ y∈x') ∧ (y∈y ∧ y∈y')
これは、x=x'かつy=y'であることを意味しています。

よって、(x,y)=(x',y')が成り立つ場合、x=x'かつy=y'であることが言えます。

欲しい結論が得られたようだが，

次に，(x,y)=(x',y')が成り立つ場合、左辺と右辺が同じ集合を表すので、以下のように置き換えられます。
{x | x∈x ∪ {x,y}, x∈x' ∪ {x',y'}} = {y | y∈x ∪ {x,y}, y∈x' ∪ {x',y'}}

の意味がよく分からない．
そこで，

User
上記の「次に」以降の内容をさらに詳しく説明してください


ChatGPT
(x,y)=(x',y')と仮定すると、左辺と右辺は同じ集合を表しています。したがって、左辺と右辺の要素が互いに含まれることが必要です。

ここまでは分かる．（「集合が等しい」ということは，「互いの要素が等しい」という定義なので．

左辺は、x∪{x,y}という集合であり、この集合の要素は、xと{ x,y }の要素をすべて含むことになります。また、右辺はx'∪{x',y'}という集合であり、この集合の要素は、x'と{x',y'}の要素をすべて含むことになります。

したがって、左辺と右辺の要素の集合が一致するためには、以下のような条件が必要です。

x∈x'またはx'=x
y∈x'またはx'=y
x∈y'またはy'=x
y∈y'またはy'=y
これらの条件式を整理すると、x=x'かつy=y'であることが言えます。したがって、(x,y)=(x',y')の場合に限り、x=x'かつy=y'という結論が得られます。

いや，$${x \in y’}$$と$${y \in y’}$$がおかしい．

仕方ないので，自分で調べることにする．（次回↓