合成数判定と素数判定③（素数判定：29福フクを題材に）

さて、いよいよ素数の判定に行きます。
既知の素数29福フクを例にして、素数判定をしてみたいと思います☺️

２９の場合

途中式は省略します。

$${ x=k±\sqrt{k^2-4×29}/2 }$$

$${ x=k±\sqrt{k^2-116}/2}$$

116に一番近い平方数は121ですのでそこからスタートします。③の$${k^2}$$に代入し続けていくと√の中身はいつまでも平方数になりません。

問題とする29の1/2+2までをkとして探索すればよいと思います。
そのkは17。

結局、√の中身は平方数になりませんでしたので、自然数xの解はないことになります。

121-116＝5
144 -116＝28
169 -116＝53
196 -116＝80
225 -116＝109
256 -116＝140
289 -116＝173

よって、29は自然数の積に分解できず、素数となりました。

ここで、ふとこんな疑問を持ちました。

121より小さい平方数で√の中身を求めたらどうなるか…

1-116=-115
4-116=-112
9-116=-107
16-116=-100
25-116=-91
36-116=-80
49-116=-116
64-116=-52
81-116=-35
100-116=-16

となりまして、特に
$${k^2}$$=16と100のとき、-付きですが、平方数になりました。

そこでヒラめいて、複素数の共役複素数の範囲で29を分解してみると

29=（2+5i）×（2-5i）となりました。
（$${k^2=16}$$の時）

実は全ての自然数は、共役複素数の積で分解できる様です。

その意味で、29は共役複素数の積で、10通りで表現できます（虚部に無理数の係数のものもあります）。

さて、初回の合成数判定と素数判定①で紹介した、６ですが

これを共役複素数の積も含めて表現してみると

6=（1+√5i）× （1-√5i）
=（2+√2i）× （2-√2i）
=3×2（＝2×3）

ここで変なことをしますが

仮に自然数のみになった3×2について、3と2に無理やり共役複素数の積を当てはめてみると…

a+bi=3
a-bi=2

実部のみなので、b=0
よって、a=3、そして、a=2

矛盾で、意味がないと普通は思いますが、自分は次の言葉を思い出しました…

以下、2022.410のNHK放送「数学者は宇宙をつなげるか？abc予想をめぐる奇妙な物語」（何度も繰り返し見ています）の引用です。

望月新一博士がabc予想を解決するために構築した「宇宙際タイヒミュラー理論」

そこでの上記のイメージ的な解説として「同じものを違うものとみなす」とのことがありました。

自然数を共役複素数の積で分解する限りは問題とならなかったのが、合成数の様に、実部のみの積も分解する時も含める時、共役複素数の積の世界と齟齬が生じるのは何か原因があるのでしょうか。

その意味で、素数は共役複素数の積だけで表現されるので、矛盾は生じていない様に思えるのですが…

自分はど素人ですが、宇宙際タイヒミュラー理論を利用して、合成数と素数についての根本的な解明なされればよいなと思いました。

今日はここまでで、次回に続きます(*´-`)✨