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龍孫江の群論道具箱

群論の初歩について，基本事項をまとめます．群論について，学び始めた人，もう少し良く知りたい人におすすめです．月６回ほどの更新と，おまけテキストを載せる予定です．
群論の初歩について，基本事項をまとめます．教科書にはあまり書かれない細々とした計算や寄り道っぽい話…
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龍孫江（りゅうそんこう）

正規化部分群〈龍孫江の群論道具箱〉

　部分群への共役作用についてみています．作用があれば固定化群が気になるもので，この共役作…

龍孫江（りゅうそんこう）
龍孫江（りゅうそんこう）
5日前
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作用と共役部分群〈龍孫江の群論道具箱〉

　以前，作用の観点から「部分群とは固定化群」「剰余類とは一部の動きが等しい要素の集合」と…

龍孫江（りゅうそんこう）
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8日前
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部分群の交叉の指数〈龍孫江の群論道具箱〉

　部分群の指数について観察しています．前回は部分群の指数法則を証明し，今回は引き続き部分…

龍孫江（りゅうそんこう）
龍孫江（りゅうそんこう）
11日前
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指数の推移法則〈龍孫江の群論道具箱〉

　剰余類の数として指数が定義されました．剰余類は乗法作用による軌道とも捉えられますから，…

龍孫江（りゅうそんこう）
龍孫江（りゅうそんこう）
2週間前
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軌道集合からの単射・全射〈龍孫江の群論道具箱〉

　同変写像を導入して，群が作用する集合を比べられるようになりました．例えば同変写像は軌道…

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3週間前
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同変写像〈龍孫江の群論道具箱〉

　準同型定理が得られて，準同型写像の「群を比較する写像」という役割がはっきりしてきたと思…

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3週間前
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普遍性をみたすのは〈龍孫江の群論道具箱〉

　剰余群を導入し，その特徴として普遍性と呼ばれる性質があることを紹介しました．今回は，この普遍性が剰余群を特徴づけることを紹介します． https://youtu.be/-XrfoFrMER4 定理（普遍性による剰余群の特徴づけ）　$${G}$$を群，$${N}$$を$${G}$$の正規部分群とする．群準同型$${\pi_1 \colon G \to \bar{G}}$$が (1) $${\pi_1}$$は全射かつ$${\ker \pi_1 \supset N}$$ (

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剰余群の普遍性〈龍孫江の群論道具箱〉

　剰余群が定義されて，その性質を探っていきます．今回は中でも特に重要な，剰余群を外から特…

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1か月前
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指数最小の部分群〈龍孫江の群論道具箱〉

　指数２の部分群が正規部分群であることを証明しました．今回は，この事実を次のように一般化…

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1か月前
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指数２の部分群〈龍孫江の群論道具箱〉

　交代群の指数の計算，特に左剰余類と右剰余類が一致するという事実をきっかけに，正規部分群…

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1か月前
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2024年もお世話になりました

　2024年の大晦日も夜９時を回りました．１年も残り３時間，皮肉を言えば年が変わったくらいで…

龍孫江（りゅうそんこう）
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1か月前
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準同型定理〈龍孫江の群論道具箱〉

　剰余群を導入し，ひとつの山場を迎える準備ができました． https://youtu.be/0Ux5Yyr0e6c …

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1か月前
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剰余群〈龍孫江の群論道具箱〉

　正規部分群では左剰余類と右剰余類が一致することを示しました．その帰結として剰余類空間に…

龍孫江（りゅうそんこう）
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1か月前
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正規部分群の剰余類〈龍孫江の群論道具箱〉

　群$${G}$$の部分群$${H}$$をひとつ固定したときに，$${H}$$による左剰余類と右剰余類の間に１対１の対応が存在することが紹介しました．ところが，正規部分群の場合には１対１どころか，さらに強い対応が存在するようです． https://youtu.be/Hi-hiXGHaCY 定理（正規部分群の剰余類）群$${G}$$の部分群$${N}$$に対し，以下は同値である： (1) $${N}$$は正規，すなわち各$${g \in G}$$に対し$${gNg^{-1}

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