作用と共役部分群〈龍孫江の群論道具箱〉

　以前，作用の観点から「部分群とは固定化群」「剰余類とは一部の動きが等しい要素の集合」と比定しました．今回はこれに加えて，部分群の共役関係も考えてみましょう．

https://youtu.be/pVwblOti7KI

定理（作用と共役部分群）

群$${G}$$が集合$${X}$$に作用するとし，$${x \in X}$$の固定化群を$${G_x}$$と表す．$${a\in G}$$，$${x,y \in X}$$が$${y = ax}$$をみたすとき
(1) $${ \{ g \in G \mid g x = y \} = aG_x = G_y a }$$．
(2) $${ G_y = a G_x a^{-1}}$$．□