証明 | 相加相乗平均

 この記事では、ヘッダーに掲げた

(a + b )/2  ≧√ab 　という
相加相乗平均の不等式が成り立つことを
複数の方法で証明する。

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①左辺－右辺≧０を導く

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②面積の関係から。

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上の図のように、
縦の長さがa, 横の長さがbの長方形を
４つ並べて、
一辺の長さが(a+b)の正方形を作る。

このとき、
正方形の面積は、長方形４つぶんの面積より明らかに大きいから、
次のような式が成り立つ。

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③半円と三角形の相似を使って。

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円Oの直径AB上に、任意の点Hをとる。
そして、点Hを通り、直径ABに垂直な直線を引き、円Oの周との交点をCとする。

このとき△ACH∽△CBHだから、
線分AH＝b, 線分BH＝a, 線分CH＝X
とすれば、
b : x= x : a 
よって、X＝√ab。
線分CHの長さが最大になるのは、
点Hを点Oにとったとき(CHが半径になるとき)である。
半径をrとすれば、
a + b = 2r だから、r = (a+b)/2

よって、(a+b)/2 ≧ √ab。

…Q.E.D

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