🌎️球の表面積の公式を「直感的」に理解する🌍️

中学生の数学で学ぶ球の表面積や体積の公式。ほとんど説明らしい説明もなく、「暗記しなさい！」、と言われた記憶がある人も多いだろう。

四角形や三角形の面積が平面であるのに対し、球の表面積は曲面である。
公式が複雑だという理由もあるが、

「曲面の面積」なんて、定義をそもそも教わっていない。だから、違和感をもつのではないだろうか？

今回の記事では、「曲面」を「平面」に置き換えて、「球の表面積の公式」を直感的に理解することを目的とする。

曲面の面積を考える場合、「横から見た場合(側面)」と、「上から見た場合」の「２つの部分」に分けて考えるとよい。

上の図では、半径を三等分した階段を作ったが、「階段」の段数を増やしていけば側面(緑色の部分)は限りなく、

「底辺が２πｒ、高さがｒの三角形」に近づく。

よって緑色の部分の面積(三角形の面積)は

２πｒ×ｒ÷２＝πｒ^2......①

また、このとき上から見た円の面積は
                           πｒ^2......②

よって半円の曲面の面積は
①と②を加えればよいから

　　               ２πｒ^2......③

球の表面積は、半球の曲面部の面積の２倍だから

２×２πｒ^2＝４πｒ^2

球の表面積は、半径が同じ長さの円の面積の４倍となる。

*ｒ^2はｒの二乗を表す。