動画【パラドックス#17】カントールのパラドックス！
古代ギリシャ時代から現在に至る多種多彩な「パラドックス」を解説する【パラドックス】シリーズを、YouTube チャンネル「高橋昌一郎」で開始した。お楽しみいただけたら幸い！
第17回「カントールのパラドックス！」
カントールは、自然数の集合の基数を「アレフ０」と名付けた。したがって、偶数の集合の基数も、アレフ０である。もちろん、奇数の集合の基数も同じになることは、明らかだろう。しかし、さらに驚くべきことに、カントールは、整数（正と負の自然数と０）や、有理数（分母が０以外の整数比）の基数も、アレフ０であることを証明した。つまり、すべての分数は、奇数と一対一に手を繋げるのである。
無限基数の演算も興味深い。たとえば、アレフ０＋アレフ０＝アレフ０であり、アレフ０×アレフ０＝アレフ０である。ところが、累乗の演算になると、無限にも大小関係のあることが証明される。カントールは、２のアレフ０乗が、アレフ０よりも大であることを証明した。一般に、集合Ｓの部分集合の集合を「ベキ集合」と呼ぶ。このとき、ベキ集合の基数は、集合Ｓの基数よりも大なのである。
実際に、カントールは、「対角線論法」によって、実数Ｒ（有理数と無理数）の基数が、自然数Ｎの基数よりも大であることを証明した。実数の基数は、自然数のベキ集合の基数と同等である。つまり、実数の基数は２のアレフ０乗であり、それはアレフ０よりも大であることが明らかになったのである。
カントールは、アレフ０、アレフ１、アレフ２、……と無限に続く無限基数の存在を証明した。そして、これらの階層は、ベキ集合の基数の階層と一致すると考えたのである。つまり、アレフ１は２のアレフ０乗、アレフ２は２のアレフ１乗、……のように、無限基数が整列するものと仮定した。これが、カントールの「一般連続体仮説」である。
さて、すべての集合の集合Aを考えてみよう。この集合Aは、最大の濃度をもつ集合と考えられる。ところが、集合Aのベキ集合の濃度は、集合Aの濃度よりも大でなければならない。この矛盾を、どのように考えればよいのだろうか？
#エッセイ #コラム #読書 #推薦図書 #YouTube #動画 #情報文化研究所 #高橋昌一郎 #パラドックス大図鑑 #ニュートンプレス #思考方法 #論理的思考 #思考実験 #哲学 #科学 #雑学 #謎 #古代ギリシャ時代 #パラドックス #解決方法 #ロジカルシンキング #ヒルベルトのパラドックス #無限のパラドックス
いいなと思ったら応援しよう！
