線形代数学とは何か

線形代数学は理系の学生にとっては大学初年度で学ぶ科目であり、専門的な数学の基礎課程のひとつである。しかし、だからといってそれが初等的で平易であるわけではない。実際、この学問はとても深く、その全体像を鳥瞰することは難しい。「線形代数学とは何か」とは、実は大きな問いなのである。「線形代数学を理解する」とはどういうことか、何をどこまで理解できれば線形代数学をわかったことになるのか、といったことすら適切に言語化するのは至難の業だ。私が若い大学教員だったときにすでに古参だったある有名教授の弁にも「線形代数学をちゃんと理解している学生は少ない」というのがあった。このちゃんと●●●●の意味が難しいのだ。

線形代数学をマスターする上で最初の基本は、「行列の計算」ができること、もっと言えば「行列が使いこなせる」ことだ。これはおそらく誰でも同意するし、間違いのないところだろう。そのため、行列の基本、掃き出し法、階数の概念、固有値・固有ベクトル、対角化といったことを最初に学ぶ。しかし、それだけでは〈ちゃんとした理解〉ではない（と私は思う）。それはあたかも数の計算ができても、数について理解したことにはならないことにも喩えられるだろう。数を深く理解してもあまり役には立たないかもしれない（でも暗号には結構深い数論が使われる）が、線形代数をある程度深く理解することは、実際的な価値が高い。

というわけで、ある程度はベクトル空間や線型写像による抽象的な線形代数を理解しておくことが望ましいということになる。しかも、抽象的な線形代数学をマスターすることは、「行列の計算」レベルの線形代数にも思いがけないほど大きなご利益がある。行列の計算は（喩えるならば）座標を固定した計算だが、線型写像では座標によらない本質が浮き彫りになるからである。

この記事では私の「線形代数観」のひとつを述べようと思う。これによって「線形代数とは何か」という大きな問題への解を与えるというほど、大それたことではないし、線形代数学をちゃんと●●●●理解するための指針となるかどうかもわからない（人によるだろう）が、線形代数学という学問の見方として、ひとつの大局的なものではあると思う。

分類学としての線形代数

大学初年度で習得する学問は「微分積分学」と「線形代数学」である。「微分積分学」は、関数に関する（微分や積分といった）〈計算術〉であるという意味合いが強い。関数や関数のクラスの本質を理解する上で有効な計算法や視角を習得することが、その狙いである。それに対して、線形代数学は〈分類学〉であるという意味合いが強い。その本質は線型写像（やテンソルなどのさらに一般的な多重線形形式）の理解にあり、これらを自然に・適切に分類することで、その本質の理解を目指すというものになっている。

以下、体$${K}$$をひとつ決めて、$${K}$$上の線形代数学という形で議論するが、フルに一般的な体の上で議論する必要は特になく、普通に実数上の話だと思ってもらって全然構わない。また、以下では簡単のために有限次元の線形代数のみを考える（有限次元の線形代数のレベルで、すでに〈ちゃんとした理解〉は深い）。

ベクトル空間

分類学としての線形代数学には、まず最初にベクトル空間の分類がある。二つのベクトル空間の間に$${K}$$上の線形同型が存在するとき、それらは$${K}$$上のベクトル空間として「同型である」という。（もっとも抽象的な意味での）線形代数学という学問の視点からは、同型な二つのベクトル空間を区別することは、あまり意義深いことではない。むしろ線形代数学の立場からは、同型なベクトル空間は区別しない方が、それらの「線形代数学的本質」を浮き彫りにすることができる（ことが多い）。

というわけで、同型なベクトル空間は同一視する、というポリシーでの「ベクトル空間の分類」という考え方が自然である。ところで、ベクトル空間に限らず、対象の分類をする上で重要なのは、その分類の指標を与えることだ。例えば、ユークリッド幾何学における線分●●は、その「長さ」だけで完全に決まる。すなわち、線分ABと線分CDが合同である（すなわち、平面内をユークリッドの運動（回転＋鏡映＋平行移動）で重なり合う）ための必要十分条件は、それらの長さが等しいことである。「線分」という幾何学的対象のユークリッド幾何学における分類は、したがって、長さという正の実数で決まる。いかなる正の実数に対しても、それを長さとする線分は存在するし、線分の合同類に対してその長さは一意的に定まる。よって、線分という対象の分類における「長さ」という指標は完全なもの（長さと合同類が完全に対応する）である。

分類の指標は、もちろん、その対象を考えている枠組みによって変化する。例えば、三角形はユークリッド幾何学では三辺の長さという三つの正の実数の組（で三角不等式を満たすもの）で決まる。しかし、これを相似幾何学（相似な図形を同一視する幾何学）で考えると、総和が二直角（180度）に等しい三つの角（という正の実数）の組、すなわち実質的に、その和が二直角未満である二つの正の実数の組で決まる。

ベクトル空間の（同型を同一視する立場での）分類の指標は何か？それは「次元（dimension）」である。線形代数学で学修するように、二つのベクトル空間$${V,W}$$が同型であるための必要十分条件は、それらの次元が等しいこと$${\mathrm{dim}(V)=\mathrm{dim}(W)}$$である。したがって、ベクトル空間の分類は「次元」という$${0}$$以上の整数で完全に分類される。

線型写像

次に線型写像の分類がある。ベクトル空間$${V}$$からベクトル空間$${W}$$への二つの線型写像$${f\colon V\rightarrow W}$$と$${g\colon V\rightarrow W}$$が〈同型である〉（線型写像としてもっとも自然な同一視の基準）とは、

$$
\begin{array}{ccc}
V&\xrightarrow{f}&W\\
\llap{$\scriptstyle{p}$}\downarrow\rlap{$\scriptstyle{\cong}$}&&\llap{$\scriptstyle{\cong}$}\downarrow\rlap{$\scriptstyle{q}$}\\
V&\xrightarrow[g]{}&W
\end{array}
$$

が可換となる（すなわち、$${q\circ f=g\circ p}$$）ような二つの線形同型$${p\colon V\xrightarrow{\cong}V}$$と$${q\colon W\xrightarrow{\cong}W}$$が存在することである。この同一視の意味は、次のように考えれば、非常に自然なものだと思われるだろう。ベクトル空間の自己同型$${p\colon V\xrightarrow{\cong}V}$$は、$${V}$$の基底を別の基底に変換する「基底変換」と思うことができる。その見方をすれば、上の意味で$${f}$$と$${g}$$が「同型である」とは、基底（座標）の取り方を変えれば同じものになる、という意味に他ならない。

ではこの意味での「同型」を同一視の基準とした場合の、$${V}$$から$${W}$$への線型写像の分類の指標は何だろうか？それは「階数（rank）」である。すなわち、$${f}$$の像$${f(V)}$$の次元である。

$$
\mathrm{rank}(f)=\dim(f(V))
$$

すなわち、線型写像$${f,g\colon V\rightarrow W}$$について、$${\mathrm{rank}(f)=\mathrm{rank}(g)}$$ならば、上のような図式が可換になるような自己同型$${p\colon V\stackrel{\cong}{\rightarrow}V}$$と$${q\colon W\stackrel{\cong}{\rightarrow}W}$$が存在する（読者への演習問題）し、また逆も成り立つ。また、階数は$${0}$$から$${V,W}$$の次元の最小値までの整数値をくまなくとれる。よって、階数は線型写像の分類指標として完全なものである。

このことは、行列のレベルで書き換えると、より示唆的かもしれない。$${V,W}$$が数ベクトル空間$${V=K^n,W=K^m}$$の場合を考えると、$${f}$$や$${g}$$はそれぞれ$${m\times n}$$行列$${A,B}$$で書くことができる（標準基底に関する表現行列）。自己同型$${p,q}$$はそれぞれ$${n}$$次正則行列$${P}$$、$${m}$$次正則行列$${Q}$$で表現できる。このとき、$${f}$$と$${g}$$の階数は行列$${A}$$と行列$${B}$$の階数にそれぞれ等しく、$${f}$$と$${g}$$が上の意味で同型である（すなわち、$${\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(B)}$$である）ための条件（$${q\circ f=g\circ p}$$）は$${QA=BP}$$、すなわち

$$
B=QAP^{-1}
$$

と書き換えられるが、これは「$${A}$$を適当に基本変形すれば$${B}$$にすることができる」ということに他ならない。（行列$${A}$$と$${B}$$が上述の関係にあるとき、$${A}$$と$${B}$$は「対等である」（または「同値である」）という用語もある。）