マガジンのカバー画像

位相と論理と私

7
本
『位相と論理』を読みながら適当に何か書きます
運営しているクリエイター
f(z)dz
f(z)dz

f(z)dz

ブール代数のスペクトル：　真理値表たちを開基とする直積空間!!

ブール代数のスペクトル：　真理値表たちを開基とする直積空間!!

この記事はMath Advent Calender 2022の1日目の記事として作成しました。
内容のレベルは大学数学で、ジャンルは束論、位相空間論、少し圏論です。
全体的に『位相と論理』という教科書を参考にしています（末尾の参考文献1）。

0．はじめにこの記事では、「ブール代数のスペクトル」と呼ばれるものを定義することをゴールとします。そこへ至る過程で位相空間論のよい復習になり、学びがあると思

もっとみる
f(z)dz

f(z)dz

位相と論理と私6：ブール環（pp.11-13）

位相と論理と私6：ブール環（pp.11-13）

前回はブール代数を学びましたが，今回はブール環をやります．この２つの概念って異なるものだったのですね（？）

ブール代数とは何だったか順序集合において任意の有限集合にjoinとmeet（最小上界と最大下界）が存在するとき，その順序集合を束といいました．

束が分配律$${a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)}$$を満たすとき，その束のことを分配束とい

もっとみる
f(z)dz

f(z)dz

位相と論理と私5：ブール代数（pp.7-10）

位相と論理と私5：ブール代数（pp.7-10）

かっこいい言い回しで始まる．$${PX}$$（ベキ集合族）が典型的なブール代数であるとのこと．抽象的過ぎて混乱した時はベキ集合族で考えるとよさそう．

補元定義1.17　束において，$${a\land x=0, a\lor x=1}$$となる$${x}$$を$${a}$$の補元という．

束には最小元0と最大元1の存在が保証されていました．補元はベキ集合で言えば「補集合」というやつですね．台集合$

もっとみる
f(z)dz

f(z)dz

位相と論理と私4：束，分配束（pp.6-7）

位相と論理と私4：束，分配束（pp.6-7）

前回までで，半束のこと，冪等積と順序の一意性についてやりました．今回は束と分配束をやります．これで束論の速習的なことが完了します．

束順序集合がすべての有限joinと有限meetをもつなら，束であるといいます．

第2回で示したように，join半束として完備ならmeet半束としても完備，逆もまた然り，なので，どちらかが完備なら束であるわけですね．

有限join，有限meetがあればよいので，束

もっとみる
f(z)dz

f(z)dz

位相と論理と私3：ブール環ぽいものに順序を一意的に入れられることについて訂正（p.4）

位相と論理と私3：ブール環ぽいものに順序を一意的に入れられることについて訂正（p.4）

前回の2の記事で考察不足な部分があったので，それについて説明します．

ブール環っぽいものから一意的に決まる順序命題1.7で，積が冪等ならば順序が一意的に定まることが証明されました．再掲します．

$${A}$$は集合で，$${e}$$はその元，$${\ast}$$は2項演算子で次の条件をみたすとする．

$$
a\ast a=a,\quad a\ast b=b\ast a, \quad a\as

もっとみる
f(z)dz

f(z)dz

位相と論理と私2：半束（pp.4-6）

位相と論理と私2：半束（pp.4-6）

前回は半束の定義まで進んでいました．その続きです．

半束順序集合$${A}$$のすべての有限部分集合がjoinをもつとき，半束といいます．

半束は空集合のjoinとして最小元0をもつ．任意の2元$${a,b\in A}$$のjoin，すなわち，$${\lor\{a,b\}}$$も存在が保証されている．それを$${a\lor b}$$と書く．

これにより半束の中で$${\lor}$$は2項演算

もっとみる
f(z)dz

f(z)dz

位相と論理と私1：読み始めたyo（pp.1-4）

位相と論理と私1：読み始めたyo（pp.1-4）

位相とブール代数を扱っているようです．ブール代数は「論理の代数化を目指して創始された」らしいです．今は第１章を読んだところ．簡素な記述で、基本的には定義−命題–証明の流れで議論が進みます．自力で行間を埋めるべきところがちょっと多めにありますが，大体は定義を理解できていれば簡単に示すことができ，良い練習になります．以下、本に書かれていることをかいつまんで説明します（pp.1-4）．

lower s

もっとみる