『高校数学のロードマップ』A_2（数編）3『極限』

（※注：「理系に進学したいが数学が苦手な知人の高校生に、数学の良さを教える」というミッションのための草稿を、あらかじめWebに掲載して、ダメなところを指摘してもらおう、という趣旨の記事です）

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〇極限

●果てしない何かを扱うジャンル・解析学

・無限大や無限小について考えてみるということをすると、メチャクチャ疲れますが、ときどきこれが避けられないことがあります。
　例えば、後で書きますが、「無限大に伸びる数列の中身を全部足すと、特定の数に果てしなく近づく場合がある」というやつです。
　で、「無限大に伸びる数列の中身を全部足すと、特定の数に「等しくなる」場合がある」とスパッと言い切れないので、「ここはスパッと同一視していいことにしたい、そうしたらそれらを楽に演算できる」というニーズがあったりします。
　ですが、そもそも、無限大に伸びる数列は、有限の数列と違って、無限大なので終わらない訳です。そうなると、これを全部足すということがそもそも不可能なんですね。
じゃあ上のような話をうまいこと扱えないのか？　ということで、「無限大や無限小の出て来る何かが、何かの値に果てしなく近づく」というケースを扱うルールがたくさん考えられました。
 
・無限大や無限小などの果てしない何かを扱うジャンルを、解析学（かいせきがく）と言います。これで後述する極限や微分や積分を扱えます。
・「極限とか微分とか積分とか、そんな今まで聞いたことのない、明らかに難しそうなもの、何の役に立つのか？」と誰しもまずは思うところですが、実は、解析学で扱う極限は、数論で扱う実数を定義するときにも必要になってきたりします。（高校数学でそこまでやるかはわからないので、「そうなんだ」と話半分に聞いてください。）
 
●数列の中身を全部足すと特定の数に果てしなく近づく場合がある
・そんなわけで、数列の中身を全部足すと、特定の数に果てしなく近づく場合があります。
　非常に奇妙な例として、ある種の有理数の数列が無限に続く場合、その総和（無限の数列の総和のことを級数（きゅうすう）と呼びます。高校数学で出て来るかは分かりません）が、円周率の2乗に果てしなく近づく、という有名な話があります。なんと、(1×1+1/2×1/2+1/3×1/3+…)×6≒π^2です。（実際に計算してもよいですが、面倒なのでやらなくていいです。）
（なお、”^”は「乗」を意味します。”x^2”は「xの2乗」という意味です。）
いっそ、(1×1+1/2×1/2+1/3×1/3+…)×6=π^2と言い切りたいのですが、言い切ってよいことにするという開き直りが必要です。（さっきの話ですね。）
 
・「特定の値に果てしなく近づく」ことを表す記号として、でかいlimを見ることがあるかもしれません。あれはlimitの略です。日本語では、果てしなく近づく先である特定の数、及びその記号であるlimのことを極限といいます。（英語ではまさにlimitといいます。）
　たいてい、”lim(n→∞)（数列）=特定の数すなわち極限”という書き方になります。
（本当は(n=∞)は括弧無しでlimの下の余白に書きます。これで「数列は、無限大の場合には、特定の数になる」という意味になります。）
（上の例の場合は、総和との合わせ技なので、”lim(n→∞) Σ(i=1)(n) （数列）=特定の数すなわち総和の極限”という書き方になります。これで「数列の、下は1の場合から上は無限大の場合までの全パターンを足したら、特定の数になる」という意味になります。）