『高校数学のロードマップ』B_1（参考編_集合編）1（集合）1（論理学の一部）

（2019/11/27差し替え）

（※注：「理系に進学したいが数学が苦手な知人の高校生に、数学の良さを教える」というミッションのための草稿を、あらかじめWebに掲載して、ダメなところを指摘してもらおう、という趣旨の記事です）

（2022/5/26追記）
このB_1の記事はことさら使用に堪えません。何もかもデタラメの恥ずべき記事です。今では集合論と論理学と圏論の順序がおかしいと思います。論点先取をやっている疑いが極めて強い。とはいえもう納品してしまったので（そしてこの高校生は今は国立大学に見事合格してしまったので）今更しょうがないんですよね…困ったな。

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〇集合

●素朴集合論でほとんどあらゆる数学が作れる

★より正確には素朴集合論と圏論と論理学でほとんどあらゆる数学が作れる

・集合論は、たくさんある数学のジャンルの基礎となり、数学のジャンルが見やすくなるため、非常に強力な道具です。
大学数学では、同じ目的のために、これに並ぶ重要な道具を2つ使う可能性があります。
論理学（ろんりがく）と、圏論（けんろん）です。
論理学は証明（しょうめい）という形で今正に使っていると思いますが、圏論は聞いたことがないかもしれません。両方とも説明します。
・なお、この章に限らず、このB参考編のI.集合編は、途方もなく長いです。
書いた××（犬神工房）がこんなことを言うのもひどい話なのですが、今のうちに謝っておきます。ごめんなさい。
本当にゆっくりゆっくり読んで下さい。すぐに使わないところは適当につまみ読みするのがいいですよ。

★論理学のうち記号に関する説明

・論理学から説明します。
・と言いつつ、論理学で考えなければならないことがざっと4つあり、高校数学で使うところだけ説明します。
まずは、「どんな記号が論理学では出て来るか」および「記号をどう組み合わせてよいか」という話をします。（これ以外にも「どう証明すればよいか」「どういう風にyesやnoが言えるか」というのがあります。）
 
・という訳で、「どんな記号が論理学では出て来るか」の話をします。
今では論理学は形式言語（けいしきげんご）という、かなりシンプルな記号（きごう）の集まりで出来ています。
（記号とは何なのかという問いがあるかもしれませんが、一つの考え方として、「連結出来るもの」とします。例えば、「あ+い+う=あいう」という連結を考えます。シンプルですね。連結能力の正体については後で説明します。
「えっそれだけ？　他にもいろいろな性質があるのでは？」と思うかもしれませんが、一般に考えられる他の性質は、また後で説明します。ひょっとしたら飛ばすかもしれません。）
 
・形式言語について考えることは2つあります。文のレベルと、単語のレベルです。
主流の論理学が扱う記号として、特に使われるものとしては、条件が整えばyesかnoかが言える文、具体的には「～である」という平叙文（へいじょぶん）の単語のうち、具体的には主語（しゅご）か、述語（じゅつご）です。
・ここで、「記号をどう組み合わせてよいか」の話をします。
ぎょっとするかもしれませんが、主語はx、述語はf()、平叙文はf(x)で記述できます。平叙文を「主語xが述語f()をする」と見なし、「f(x)」と同じ構造のものだと考えるのです。つまり、述語に主語を入れたら平叙文が出来る、という、指輪と宝石と宝石付き指輪みたいな関係だと思って下さい。
これは、後で説明する、数学における元や写像、変数や大学数学レベルの関数の組に似ていますが、より根源に近いものである、と考えて下さい。
（この段階では写像や大学数学レベルの関数は定義されていないので、これらは説明に使えないのです。
むしろ、逆に、論理学の主語や述語の記号を使って写像とかを定義することになります。
主語や述語、元や写像、変数や大学数学レベルの関数の、究極の根源については、後で説明します。）
 
・xやf()やf(x)の他に、”and”, ”or”, ”not”, ”then”という記号があります。文と文、単語と単語をつなげる効果がある、と考えて下さい。
（本当はもっと変わった記号を使います。”∧”, ”∨”, ”￢”, ”→”です。慣れないうちはぎょっとしますが、一文字なので便利です。）
”all”, ”some”を使うこともあります。主語の量を記述する効果がある、と考えて下さい。
（これは”∀”, ”∃”という記号を使います。）
さらに高度になると、”equals”も使います。
（”=”です。）
 
・普通イメージする、古代のアリストテレスの伝統的論理学、名辞論理（めいじろんり）の最低限の記号の部分は、x, ”not” ”all”, ”some”です。
「あるAはBである」「あるAはBではない」
「すべてのAはBである」「すべてのAはBではない」
のような文を扱う時は、名辞論理は便利な論理です。
・名辞論理に取って代わった中世の論理学、命題論理（めいだいろんり）の最低限の記号の部分は、f(x), ”and”, ”or”, ”not”, ”then”です。
・名辞論理と命題論理を統合するために作られた現代の論理学、述語論理（じゅつごろんり）の最低限の記号の部分は、x, f(), ”and”, ”or”, ”not”, ”then”, ”all”, ”some”です。（f(x)ではなくxとf()に分けて考えます。）
・なお、x, f(), ”and”, ”or”, ”not”, ”then”, ”all”, ”some”に加えて“equals”を入れる流派もあります。例えば、等号付き一階述語論理（とうごうつきいっかいじゅつごろんり）は、これを採用しています。
後で説明する公理的集合論（こうりてきしゅうごうろん）で「都合のいい集合」を定義する場合は、この等号付き一階述語論理というものを使います。
「都合のいい集合」は、数を丁寧に定義するときに使うため、必要なキーワードです。
 
・さて、本当は「どう証明すればよいか」「どういう風にyesやnoが言えるか」のジャンルの話をしなければならないのですが、飛ばします。
「せめて高校数学でもやる証明の話をしてほしい」と言われるかもしれませんが（そしてそれはごもっともなのですが）、必要となるところだけについて、後で説明します。