13日の金曜日は毎年必ずある？数学的に証明してみよう！｜周期性のある問題
今日13日は金曜日ですね。
若い方はご存じないかもしれませんが「13日の金曜日」というホラー映画があり、13日が金曜日になると何か特別な感じが（一定より上の世代には）あります。
…ところが、実はなんと「13日の金曜日」は、毎年必ずあるのです！
というわけで、「曜日」は時々数学でも問われるテーマですから、この機会に考察してみましょう。中学入試はもちろん、高校入試や数検などでも「周期性」というテーマは好んで出題されます。
☆13日の金曜日＝１日の日曜日
13日が金曜日であるということは、当たり前ですが２日後の15日は日曜日です。ということは、その２週間前の1日も日曜日ですよね。
ですから、「13日が金曜日になる」ことと「１日が日曜日になる」ことは数学的に同値です。そこで以下、説明の便宜のために１日の曜日について考察します。
☆周期性のある問題は割り算の「余り」で調べる！
以下、日曜から土曜までを 0〜6 の数字で表すことにします。
例えば1月1日に「０」、1月2日に「１」、1月3日に「２」…というように番号を振っていきますと、振られた番号を７で割った余りを調べれば何曜日かがわかります。大丈夫ですね？
例えば、１週間後の1月8日に振るべき番号は「７」です。７で割った余りは０。日曜日です。１日と８日がちゃんと同じ曜日になっています。
このように、曜日のような周期性のある問題では割り算をした余りを調べるのが定石です。
さて、うるう年でなければ1月から12月までの各月の日数は
31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31
です。
先ほどのように番号を振っていきますと、1月1日が「０」なら2月1日は1月の日数の 31 を足せばよいので「31」となります。７で割った余りは３ですから、1月1日が日曜なら2月1日は水曜とわかります。
同様に、3月1日に振るべき番号は2月1日に振られた番号である「31」に、２月の日数28を足した「59」となり、７で割った余りは３ですから3月1日も水曜です。
※うるう年でない月は２月の日数が７の倍数である28日なので、２月と３月は日にちと曜日が全く同じになっています。
こんな感じで各月の１日を調べていきます。1月から順に、７で割った余りだけ順に並べてみると
0, 3, 3, 6, 1, 4, 6, 2, 5, 0, 3, 5
となるはずです。読者の皆さんもぜひやってみて、こうなることを確かめてくださいね！
☆結論：13日の金曜日は毎年必ずある！
上の結果をよくご覧ください。0〜6 がすべて現れていますね。
ということは、1日の曜日は１年12か月の間で、日から土までの全ての曜日が出てきているのです。皆さん、気づいてましたか？
つまり、13日の金曜日は毎年必ずあるので、特段珍しいものではないということが言えます。
では問題です。
🌸この結論は、うるう年（２月が29日まである年）でも成り立ちますか？
…番号を振り直してもいいけれど、３月以降だけ先ほど求めた余りに１を足せばよいですね。ですから（６の場合は１を足すと７になってしまうので、０としてください）
0, 3, 4, 0, 2, 5, 0, 3, 6, 1, 4, 6
この結果、うるう年についても0〜6 がすべて現れていますから、上記の結論（13日の金曜日は毎年必ずある）はうるう年も含めて成り立つことがわかります。
☆この結果から更にわかること
余りの数字を眺めてみると、1つしかないものもあれば（1, 2, 4）、3つもあるもの（3）もあります。
ということは、13日の金曜日は多い年だと1年に3回もあって、その場合は2月、3月、11月の13日が金曜日となります。うるう年でも少なくて1回、多くて3回（1月、4月、7月）になっています。
2020年はうるう年なので、11月の余りの数字は「4」です。これは3月と同じですね。カレンダーを確認してみてください。ちゃんと3月も13日は金曜日でした。
以上、「13日の金曜日」（＝１日の日曜日）ということで話を進めてきましたが、別にそれに限った話ではありません。ここまでの話を一般化すれば、1日から28日までの何日であっても、毎年必ず全ての曜日が出てくるということになります。（※29～31日は12回ないので、そうなるとは限りません）
例えば、明日14日は土曜日ですが、14日が土曜日になることは毎年必ずあります。また、毎月14日の曜日を調べれば2020年のうちには日曜から土曜まですべての曜日が出てきます。2020年に限らず必ずそうなるのです。カレンダーを見て確かめてみてください。不思議ですね。
☆まとめ
✅周期性のある問題は割り算の「余り」で調べる！
✅13日の金曜日は毎年必ずある！
✅13日の金曜日は多くて３回、その場合は2月、3月、11月（うるう年は1月、4月、7月）
数学は学校やテストだけでなく、あなたの日常の中にあります。カレンダー、時計、車のナンバーにnoteのPVなど、いろんな数字を数学的に考えてみるとおもしろいですよ。あなたの気づいていない楽しい世界が実は目の前に存在しているのです！またねー🧡
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