高校で教えてくれない数列の和

　今回は、メインサイトの方に投稿していた「数列の差分和分学」のシリーズが完結しましたので紹介させていただきます。

【数列】和分差分学1 　「導入：数列に微分積分を混ぜてみよう」 - とぽろじい　～大人の数学自由研究～

　メインテーマは「高校数学の内容をさらに掘り下げて、数列を微分積分学みたいに展開しよう」というものだったのですが、最終的な着地点として〇乗の和を特殊な計算方法で求めることが出来ました。(高校数学では入試問題を除くと、3乗和までしか公式は紹介されませんが、これを一般化しており、たとえば6乗和を例に出しています。)　

$$
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{6}
$$

　和分差分学について簡単にまとめると、大学の微分積分で学ぶようなテイラー展開やマクローリン展開と呼ばれるものを数列化したものになります。そのため「差分」「和分」という、いかにも「微分」「積分」っぽい名前をしています。
　しかし定義は「ただの差」「ただの和」からきている2つの計算を導入しています。たとえば差分は以下のように定義しています。

$$
\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}
$$

　このように定義が簡単なこともあり高校で学ぶ数学だけで理解できるようになっています。ただ、部分積分ならぬ部分和分が登場するなど、見どころはたくさんあります。

　また、話題としてはかなり古典的な内容です。しかし、大学数学では当たり前の理論構築の流れを体感するにはうってつけの内容です。

ただの宣伝になってしまいましたが、ぜひぜひ読んでみてください！