【方程式】 〈５〉 直線の方程式
数学では、２次方程式、円の方程式、ベクトル方程式など、様々な「方程式」が登場しますよね。どう違うのでしょうか？ 同じなのでしょうか？ 実は、意味合いの違う３種類が混在しているのです！
前半は、初歩とも言える「1⃣ 解く方程式」について解説しました。中盤は、高校数学でも難解な、でも、よく出題される「2⃣ 図形を表す方程式」の分野について、きちんと整理・解説していきますので、「そうだったのか！」「Methodを理解！」という領域まで到達していきましょう。
「方程式」は３種類
高校数学で学習する方程式は、大きく分けて次の３種類です。
1⃣ 未知数を求める＝解く（２次方程式、３次方程式など）
2⃣ 図形を表す（直線の方程式、円の方程式、ベクトル方程式など）
3⃣ 関数を求める（積分を含んだ式、微分方程式など）「直線」は３種類
[Method] 基本型と一般型
（ⅰ） 中学校：y＝ax+b（ｘ軸に平行な直線：y=bを含む）
基本型：ｙ－ｙ1=m(ｘーｘ1)
ｙ軸に平行な直線：x=p
xy平面上に直線を描くことは、小学校の頃から扱ってきましたよね。はじめは、 y＝ax+b （a,bを用いて学習）を中心に学習します。aが傾き、bがｙ切片を表すので、イメージしやすく、汎用性も高いです。ただ、解法の途中で連立方程式が出てきたり、場合分けが必要になったりと解法のスピード感が足りません。さらに、最大の問題点ですが、x=p で表されるｙ軸に平行な直線は含まれていません。ですから、数学の得意な「一般化」には、そぐわない表現です。
しかしながら、基本型は、２点を結ぶ直線、平行・垂直な直線、接線など、たいへん応用範囲が広く、高等学校で最も多用する公式であると確信しています！（x=p が含まれないことは解消されていませんが、、、）
[Method] 高等学校で最も多用する公式＝「最頻出公式」
（ⅱ） 一般型：ax+by=c
xy平面上のすべての直線を表す一般化された万能な方程式です！しかし、傾きもｙ切片も見えにくいし、第一、直線の方程式に見えない！
たいへん評判の悪い式ですが、この一般型をマスターすれば、解法への近道になります。詳細は以下で解説しましょう。
場合分けを回避でき、計算間違いの減少にも繋がるので。
[Method] 方程式の表す図をイメージ
解法のポイントは、図をイメージして解くこと！ 「図形と方程式」なのに図形を考えずに、代数的に（数字だけで）解こうとする解答がよく見られます。例えマーク式試験であっても、出題者は、図形的な意味を踏まえて作問しているので、図があれば思いつき易い、さらには、図がないと思いつかないような問題を作ることでしょう。
それは、代数的意味と幾何的意味が1対1に対応するという数学の美しさを、出題者は意識しているからに他なりません。また、マーク式試験では、グラフや図形を図示させることができないので、グラフや図形を描かないと解けないように作問し、解答者の力量を計るのです。
例題１は、典型的な導入問題です。ぜひ、直線を描いてみてください。
〈例題１〉「傾き」「垂直」「平行」から図形をイメージ
〈例題解答例１〉
例題２（ア）（エ）では、２点を通る直線の公式などもありますが、傾きを準備してから解いています。この手順を踏めば、覚える公式が一つ減りますね。
傾き m=(ｙの増加量)／(ｘの増加量)
（エ）の中盤で両辺を15倍して分母を払えば、一般型での解答になり解答の速度が上がります。一般型で解答を終えるのは違和感があり、ｙ＝……にしたいかもしれませんが、そこで計算違いが起こる可能性もあるので、慣れていきましょう。
〈例題２〉
〈例題解答例２〉
例題３でも、同様に、傾きｍを準備するように習慣づけていきましょう。一般型における平行、垂直の公式もありますが、ｍを求める解法で速度的にも十分でしょう。
〈例題３〉
〈例題解答例３〉
最後は、接線を求める問題です。
これも同様に、傾きｍを準備して、「最頻出公式」を利用します。この場合、傾きｍは、接点のｘ座標における微分係数になりますね。
〈例題４〉
〈例題解答例４〉
〈練習５〉
〈練習解答例５〉
〈練習６〉
〈練習解答例６〉
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