【新書が好き】数学的思考法
１．前書き
「学び」とは、あくなき探究のプロセスです。
単なる知識の習得でなく、新しい知識を生み出す「発見と創造」こそ、本質なのだと考えられます。
そこで、２０２４年６月から１００日間連続で、生きた知識の学びについて考えるために、古い知識観（知識のドネルケバブ・モデル）を脱却し、自ら学ぶ力を呼び起こすために、新書を学びの玄関ホールと位置づけて、活用してみたいと思います。
２．新書はこんな本です
新書とは、新書判の本のことであり、縦約17cm・横約11cmです。
大きさに、厳密な決まりはなくて、新書のレーベル毎に、サイズが少し違っています。
なお、広い意味でとらえると、
「新書判の本はすべて新書」
なのですが、一般的に、
「新書」
という場合は、教養書や実用書を含めたノンフィクションのものを指しており、 新書判の小説は、
「ノベルズ」
と呼んで区別されていますので、今回は、ノンフィクションの新書を対象にしています。
また、新書は、専門書に比べて、入門的な内容だということです。
そのため、ある分野について学びたいときに、
「ネット記事の次に読む」
くらいのポジションとして、うってつけな本です。
３．新書を活用するメリット
「何を使って学びを始めるか」という部分から自分で考え、学びを組み立てないといけない場面が出てきた場合、自分で学ぶ力を身につける上で、新書は、手がかりの１つになります。
現代であれば、多くの人は、取り合えず、ＳＮＳを含めたインターネットで、軽く検索してみることでしょう。
よほどマイナーな内容でない限り、ニュースやブログの記事など、何かしらの情報は手に入るはずです。
その情報が質・量共に、十分なのであれば、そこでストップしても、特に、問題はありません。
しかし、もしそれらの情報では、物足りない場合、次のステージとして、新書を手がかりにするのは、理にかなっています。
内容が難しすぎず、その上で、一定の纏まった知識を得られるからです。
ネット記事が、あるトピックや分野への
「扉」
だとすると、新書は、
「玄関ホール」
に当たります。
建物の中の雰囲気を、ざっとつかむことができるイメージです。
つまり、そのトピックや分野では、
どんな内容を扱っているのか？
どんなことが課題になっているのか？
という基本知識を、大まかに把握することができます。
新書で土台固めをしたら、更なるレベルアップを目指して、専門書や論文を読む等して、建物の奥や上の階に進んでみてください。
４．何かを学ぶときには新書から入らないとダメなのか
結論をいうと、新書じゃなくても問題ありません。
むしろ、新書だけに拘るのは、選択肢や視野を狭め、かえってマイナスになる可能性があります。
新書は、前述の通り、
「学びの玄関ホール」
として、心強い味方になってくれます、万能ではありません。
例えば、様々な出版社が新書のレーベルを持っており、毎月のように、バラエティ豊かなラインナップが出ていますが、それでも、
「自分が学びたい内容をちょうどよく扱った新書がない」
という場合が殆どだと思われます。
そのため、新書は、あくまでも、
「入門的な学習材料」
の１つであり、ほかのアイテムとの組み合わせが必要です。
他のアイテムの例としては、新書ではない本の中にも、初学者向けに、優しい説明で書かれたものがあります。
マンガでも構いません。
５．新書選びで大切なこと
読書というのは、本を選ぶところから始まっています。
新書についても同様です。
これは重要なので、強調しておきます。
もちろん、使える時間が限られている以上、全ての本をチェックするわけにはいきませんが、それでも、最低限、次の２つの点をクリアする本を選んでみて下さい。
①興味を持てること
②内容がわかること
６．温故知新の考え方が学びに深みを与えてくれる
「温故知新」の意味を、広辞苑で改めて調べてみると、次のように書かれています。
「昔の物事を研究し吟味して、そこから新しい知識や見解を得ること」
「温故知新」は、もともとは、孔子の言葉であり、
「過去の歴史をしっかりと勉強して、物事の本質を知ることができるようになれば、師としてやっていける人物になる」
という意味で、孔子は、この言葉を使ったようです。
但し、ここでの「温故知新」は、そんなに大袈裟なものではなくて、
「自分が昔読んだ本や書いた文章をもう一回読み直すと、新しい発見がありますよ。」
というぐらいの意味で、この言葉を使いたいと思います。
人間は、どんどん成長や変化をしていますから、時間が経つと、同じものに対してでも、以前とは、違う見方や、印象を抱くことがあるのです。
また、過去の本やnote（またはノート）を読み返すことを習慣化しておくことで、新しい「アイデア」や「気づき」が生まれることが、すごく多いんですね。
過去に考えていたこと（過去の情報）と、今考えていること（今の情報）が結びついて、化学反応を起こし、新たな発想が湧きあがってくる。
そんな感じになるのです。
昔読んだ本や書いた文章が、本棚や机の中で眠っているのは、とてももったいないことだと思います。
みなさんも、ぜひ「温故知新」を実践されてみてはいかがでしょうか。
７．小説を読むことと新書などの啓蒙書を読むことには違いはあるのか
以下に、示唆的な言葉を、２つ引用してみます。
◆「クールヘッドとウォームハート」
マクロ経済学の理論と実践、および各国政府の経済政策を根本的に変え、最も影響力のある経済学者の1人であったケインズを育てた英国ケンブリッジ大学の経済学者アルフレッド・マーシャルの言葉です。
彼は、こう言っていたそうです。
「ケンブリッジが、世界に送り出す人物は、冷静な頭脳(Cool Head)と温かい心(Warm Heart)をもって、自分の周りの社会的苦悩に立ち向かうために、その全力の少なくとも一部を喜んで捧げよう」
クールヘッドが「知性・知識」に、ウォームハートが「情緒」に相当すると考えられ、また、新書も小説も、どちらも大切なものですが、新書は、主に前者に、小説は、主に後者に作用するように推定できます。
◆「焦ってはならない。情が育まれれば、意は生まれ、知は集まる」
執行草舟氏著作の「生くる」という本にある言葉です。
「生くる」執行草舟(著)
まず、情緒を育てることが大切で、それを基礎として、意志や知性が育つ、ということを言っており、おそらく、その通りではないかと考えます。
以上のことから、例えば、読書が、新書に偏ってしまうと、情緒面の育成が不足するかもしれないと推定でき、クールヘッドは、磨かれるかもしれないけども、ウォームハートが、疎かになってしまうのではないかと考えられます。
もちろん、ウォームハート（情緒）の育成は、当然、読書だけの問題ではなく、各種の人間関係によって大きな影響を受けるのも事実だと思われます。
しかし、年齢に左右されずに、情緒を養うためにも、ぜひとも文芸作品（小説、詩歌や随筆等の名作）を、たっぷり味わって欲しいなって思います。
これらは、様々に心を揺さぶるという感情体験を通じて、豊かな情緒を、何時からでも育む糧になるのではないかと考えられると共に、文学の必要性を強調したロングセラーの新書である桑原武夫氏著作の「文学入門」には、
「文学入門」(岩波新書)桑原武夫(著)
「文学以上に人生に必要なものはない」
と主張し、何故そう言えるのか、第１章で、その根拠がいくつか述べられておりますので、興味が有れば確認してみて下さい。
また、巻末に「名作５０選」のリストも有って、参考になるのではないかと考えます。
８．【乱読Ｎｏ．３７】「数学的思考法 説明力を鍛えるヒント」(講談社現代新書)芳沢光雄(著)
［ 内容 ］
もっと試行錯誤を。
本当に考えるためのレッスン。
［ 目次 ］
第１章 間違いだらけの数学観（なぜ分数計算ができないのか？ 若者はなぜ「地図の説明」が苦手になったのか ほか）
第２章 試行錯誤という思考法（できなくても考えておくことが大切 「運」から「戦略」へ ほか）
第３章 「数学的思考」のヒント（解決のためには「要因の個数」に留意せよ 目標から「お出迎え」してみよう ほか）
第４章 「論理的な説明」の鍵（「論理」からの説明、「データ」からの説明 「仮定から結論を導く」ことと「全体のバランス」 ほか）
［ 発見（気づき） ］
帯には「もっと試行錯誤を！！」と書かれているが、正にこれが本書の主張のエッセンスのようだ。
前書きには、単純計算を素早く数多くこなして脳を鍛えよう、という最近のブームに対して何よりおかしいと思われるのは、算数・数学は与えられた条件のもとでいろいろと「考えること」を学ぶものであるはずなのに、単純な計算練習の数をこなしスピードを上げることや解法を丸暗記することが数学力を上げる「救世主」であるかのように受け取られている風潮である。
もちろん計算力は必要だ。
しかしそのような「条件反射丸暗記」学習法は、「処理能力」は上がるかもしれないが、思考力を養うことにはつながらない。
と書かれており、主として教育面に焦点を当てて、現状の問題点とそれに対する考え方を述べたものである。
ある意味では、最近また流行っているらしい、「クリティカルシンキング」の具体的な解説本と言う側面もありそうだ。
マークシート方式の試験が主流となったために、数学の証明問題さえも穴埋め方式になったり、短時間に多数の問題を処理する能力を見る試験対策として丸暗記やテクニックに走ったり、といった弊害が出ており、むしろコツコツと地道に積み上げていく試行錯誤を伴う思考訓練が重要だという指摘はその通りだろうと思う。
ただし、実社会では時間は掛かるけど正しい答えを出す人と、そこそこの精度で即断即決ができる人のどちらが評価されるか、というと、スピードもかなり重要だと思うのだが。
［ 問題提起 ］
最近、基礎学力が低下しているという話をよく聞くが、本書を読んでみると、数十年前の自分の体験と比較してみて、確かに方法論としての問題を感じざるを得ない。
とは言え、やっぱり時代は変わっているわけで、昔に戻せば済むというものでもないだろう。
本書に書かれているエッセンスはとても重要なことばかりだと思うのだが、下手すると、本書に出てくるポイントだけをそのまま丸暗記するようなことになったりするので、中が必要だ。
本書にも、数学と他の教科との時間の奪い合いのような話が出てくるが、世の中の情報量は時と共にどんどん増えているわけだし、勉強以外の場面でも脳みそを使う機会が圧倒的に増えているような気もする。
その意味では、教えるほうも教えられる方も年々大変になっていっているのかもしれない。
本書で指摘されている、試行錯誤や論理的な思考法の重要さには全面的に賛成したいのだが、数学教育だけを取り上げてどうすべきかを論ずるだけではバランスを欠いたものとなる恐れもあると思う。
また、日本に数学を毛嫌いする人が多い要因の一つには、理系・文系の分け方にも問題があると思う。
特に、経済学等は、文系の人が多いにも関わらず、ミクロ経済学では高度な数学が要求される。
そんな事は、露知らず、私の周りにも、「数学なんて将来全く役に立たない」と思っている人ばかりであった。
確かに、日本の国際的競争力を上げるには数学力の向上、論理的思考の向上は不可欠だと思う。
国際化といえば、英語教育に力を入れる方向ばかり考えられているが、そんな事は、通訳や機械（将来的には）に任せておけばいい。
アメリカや、イギリスでは、子供でも英語が喋れるのであるから。
英語が喋れるだけじゃ、意味がない。
［ 教訓 ］
本書は、学力低下が指摘される日本の教育の現状において、数学の大切さとその意義を、数学者の著者が訴えている本である。
著者が言う数学的思考法とは、すなわち「あれこれ試行錯誤しながら考え抜く」こと。
数学の問題に取り組み、あれこれ悩みながら考え抜くという行為がいかに私達の思考力を養う上で重要であるかを認識した。
著者は、その「考え抜く力」の重要性を述べると同時に、子供に計算能力を反射的に丸暗記させようとする風潮や、ただひたすら処理能力ばかりが求められる社会を危惧している。
ゆとり教育によって子供に解答を文章で書かせることが減ったことや、マークシート方式などによって採点方法の合理化が進み、子供達が答えを導く上で「考える」ことが減ったしまった現状を学力低下の問題と結びつけて説明している。
しかも、「考える」ことの欠如がもたらすのは、表面的な学力低下を引き起こすだけではなくて、数学を学ぶ面白さを知るきっかけさえ奪っていくということ。
以前、ビートたけしが「頭のいい人とは数学的な思考が出来るやつ」と言っていたということを聞いたことがある。
映画監督である彼が、数学的な考え方の例として因数分解の重要性を以下のように説明している。
AX＋BX＋CXという式があったとする。
これを因数分解するとX（A＋B＋C）と変形できる。
この数式を映画の話に置き換えて考えてみる。
Xを殺人者役とする。
A、B、Cは殺人者に殺される被害者役。
普通のやつが映画をつくると、
・XがAを銃で殺すシーン
・XがBをナイフで刺すシーン
・XがCをナイフで斬るシーン
以上の３つのシーンを撮ることになる。
もし、「頭のイイ」やつがやると、
・Xが凶器をもって歩いているシーン
・そして、A,B,C,が倒れているシーン
以上の２つのシーンで済む。
わざわざ実際に殺しているシーンを撮らなくても済むわけだ。
ビートたけしは、要するに、
「数学の知識を、そのまま実生活で使うことはそうそうない。
でも、生きていく上で、数学から学んだ数学的思考法は様々な局面で活かさせるんだよ」
ってことが言いたかったんだと思う。
こんな風に数学の面白さを伝えてくれる先生がもっといてもいいんじゃないかと本書を読みながら考えた。
社会に出て働くこともしてない、勉強ばっかりしていた元優等生タイプの先生に、学ぶことの本当の意義や面白さなんか分かってるはずないと思う。
本書を読みながら、
「あれこれ試行錯誤しながら考え抜く」
ことの大切さを知った。
その話の延長線上で著者は、偶然が生むと言われている「ひらめき」について以下のように述べている。
結局のところ、他人には偶然性を強調して格好良く話している「ひらめき」でも、実際のところはさんざん考え抜いた蓄積のほんの少し上に、ふっと気がつく一瞬のことを言うようである。
この話は以前読んだ「アイデアのつくり方」でも同じようなことを言っていたのが大変興味深かった。
また、ハイデガーの次の言葉を思い出した。
この言葉は「とても美しい」。
それは、「数学は歴史学や哲学にくらべて格別に厳密ということはない。ただ、ずっと狭いだけなのである」というものだ。
数学は数学が向かうべき狭い対象をめざすことによって、つねに数学的思考を維持できたのではないか。
しかし、そのことによって数学的思考は保たれたとしても、だからといってそれで自然像がどのような数学で語られるべきかという提案にはなりえない。
むしろ数学はどんどんと異質な自然像づくりに貢献してきたのではあるまいか？
また、この本では、世界のソフトウェア企業ランキング上位100位の半数近くがインド系企業だという数字とその理由が考察されている。
日本では９×９までの掛け算の暗記を、数学大国インドでは２０×２０まで覚えさせるという有名な話がある。
だが、単に暗記量が多ければよいということならば、数学者は皆、桁数の多い掛け算を暗記しているはずだし、暗算が得意なソロバンの使い手もインドのように優れたソフトウェア開発者になっていておかしくない。
インドの教育では、たくさんの計算結果を暗記させると同時に、その理由や説明もたくさん考えさせているのが、数学教育で成功した理由なのだとする。
日本の教育では、できるだけ少ない計算例から「やり方」だけを抽出しようとしている。
インドでは多数の計算例から「論理」や「背景」を学習させている。
だから日本人は「やり方」を忘れてしまうと問題が解けなくなってしまうが、インド人はやり方を忘れても一から考えて答えを出すことができるようになる。
「ゆとり」の確保のために暗記量を減らして少数の結論だけ暗記させても、自分で考えることはできるようにならない。
暗記や計算練習を通して目指すものは計算力ではなくて、それがどうしてそうなるのかを説明できるようになることだというのが著者の見解である。
日本では１と２とnの場合で考える。
しかし、１と２と３とnくらいまでの場合を常に考えてみるのが、説明力強化につながるのではないかという。
ひらめきについてなるほどというまとめがあった。
「結局のところ、他人には偶然性を強調して格好良く話している「ひらめき」でも、実際のところはさんざん考え抜いた蓄積のほんの少し上に、ふっと気がつく一瞬のことを言うようである」
思わぬ出会いや失敗から何かを偶然に発見したというセレンディピティも、本当は偶然ではないはずだという指摘。
日常試行錯誤を繰り返している人が、単純なミスや人との出会いという決定的な刺激を得て、大きな発明や発見を達成している。
ただ偶然を待っていてもひらめきは訪れない。
「しばらく考えた経験」があると点や線が面として見えるようになるから、大切なのはできなくても考えておくことなのだという説。
また、じゃんけんをするとき、人間が出すのはグーが多くチョキが少ないという。
著者が実験室で７２５人の学生に延べ１万１５６７回のじゃんけんをさせて作成した統計では、
グー ４０５４回
パー ３８４９回
チョキ ３６６４回
という状況であったらしい。
じゃんけんでは有意水準１％でグーが多くてチョキが少ないのだ。
理論上はじゃんけんの統計はグー、チョキ、パーが３分の１ずつ出されるはずである。
だが実際にやってみると違う。
人は他人を目の前にすると警戒して拳を作る傾向があることや、チョキの形の手はグーやパーよりも作りにくいことなどが影響しているのではないかと理由が挙げられている。
こうした現象を説明する際、数字のデータ（証拠）と、その理由（論）はどちらも大切で、必ずしも「論より証拠」ではなく「証拠より論」が有効なときもある。
データだけ分かっていても本質的な対策が講じられない。
論と証拠の両方から面として説明することが重要である。
他にもたくさんの数学的な思考の応用が紹介される。
要旨は試行錯誤と説明力が大切だということ。
［ 結論 ］
参考までに常々、Mathematicsを「数学」と訳すのは大いなる誤訳だとも言われている。
「数」は Mathematics では重要な分野にして「武器」だが、一部にすぎないからだ。
Wikipedia日本語版では、きちんと「数」以外のMathematicsの側面も過不足なく説明している。
数学（すうがく、ギリシア語μαθηματικ`o s英語mathematics）とは量、構造、変化、空間の様式について研究する学問である。
しかし、これも実は英語版の翻訳にすぎないことが以下をみるとわかる。
Mathematics - Wikipedia, the free encyclopedia
Mathematics is the study of quantity, structure, space and change.
さらに注目していただきたのは、日本語版では割愛されている語源が、英語版にはきちんと書いてあることだ。
The word "mathematics" comes from the Greek μ`a θημα (mathema) meaning "science, knowledge, or learning" and μαθηματικ`o s (mathematikos) meaning "fond of learning". It is often abbreviated maths in Commonwealth English and math in American English.
実はこのギリシャ語が「数学」の定義としては最も簡潔なものだ。
なんと、μ`a θημα は「学び」そのものであるし、 μαθηματικ`o s は「好学」である。
そのためMathematicsの訳語として「好学」を採りたい気もする。
「数学」はCalculusのために温存しておきたい。
ここで紹介した「数学的思考法」の「数学的」は、 Calcular ではなく Mathematical の方である。
最近「数式を使わないほにゃらら」とか「化学式を使わないあにゃらら」とかいう、文系向けの啓蒙書が多いが、これは実にもったいない。
本書では、数式やグラフは「抑えつつ」も、「これしかない」というタイミングで見事に使っている。
「全順序」の説明は見事だ。
絵が二つのっけってあるだけなのだから。
その全順序にのっとってリケーを整理すると、まず「好学」の一部門として「物理学」がある。
「好学」のうち、たまたまこの宇宙の秩序と合致する物をそう呼んでいる。
うち電磁気力が支配する領域を研究する学問を、我々は「化学」と読んでいる。
英語では"Nuclear Chemistry"という言葉は生きているようだが、日本語ではもはやあまり「核化学」とは言わない。
さらにその一部門として「生物学」と「地学」があり・・・という具合だ。
文系にだってちゃんとこれは適用できる。
Mathematicsの下の論理学(Logics)の下の言語学(Linguistics)という具合に。
Mathematicsはそれほど雄大でかつ緻密だ。
「学」と一文字で表したいぐらいだ。
そんなMathematicsが嫌われるのは、実は日本だけではない。
本書で取り上げられている日本の事例のひどさにも飽きれるが、私はそれよりひどい例をアメリカをはじめ他の国でも見てきた。
その理由をぼんやり考えると、数学最大の武器、抽象化がアダになっているのではないかと思った。
何かを証明する時に最初に行うのは、その証明すべき事項(数学ではこれを「集合」と呼ぶ)に共通する命題を取り出すのが第一歩だ。
これが「抽象化」なのであるが、数学が高度になるにつれ、具象から抽象を取り出すのではなく、抽象からさらなる抽象を取り出すという作業が増えてくる。
これは実は「それが一番効率的」だからそうしているのであるが、この抽象のカスケードが進めば進むほど、「現実離れ」した恐怖感が出てくるようである。
本書の著者芳沢氏は、このことを具体的に書きはしなかったが、教育者としてそのことを肌で知っているようだ。
［ コメント ］
どの章においても、必ず１ホップで具象、それも世の好奇心が垂涎する具象にたどりつくように書いている。
たとえば「期待値」の説明では、カビの生えた宝くじの例ではなく、野球のOERA値を例にしている。
本書は「数学を食わず嫌いになってしまった大人達への処方箋」だ。
私が唯一恐れるのは、「数学」の二文字を見ただけで本書を敬遠する人も少なくないのではないかという点。
よって最初にMathematicsを考えてみた。
９．参考記事
＜書評を書く５つのポイント＞
１）その本を手にしたことのない人でもわかるように書く。
２）作者の他の作品との比較や、刊行された時代背景（災害や社会的な出来事など）について考えてみる。
３）その本の魅力的な点だけでなく、批判的な点も書いてよい。ただし、かならず客観的で論理的な理由を書く。好き嫌いという感情だけで書かない。
４）ポイントを絞って深く書く。
５）「本の概要→今回の書評で取り上げるポイント→そのポイントを取り上げ、評価する理由→まとめ」という流れがおすすめ。
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