圧縮性流体における物理を知ること -4-

物質の三態における「液体」と「気体」を総称した表現（流体）の力学的特性を見るための学問を「流体力学」と言います。流体力学は固体力学と同様に連続方程式、運動方程式、そしてエネルギー方程式を支配方程式に有します。

流体は理想形態として完全流体（理想流体）や粘性流体、圧縮性流体（逆説として非圧縮性流体）が存在します。

今回は「圧縮性流体」に関する物理を見ていくことにします。圧縮性流体は運動に伴う流体の圧縮や膨張を考慮します。

前回は圧縮性流体における弱化傾向を有する場合を前提とした、膨張波と衝撃波の物理的挙動を見ていきました。

これまでは、圧縮性流体の中で衝撃波（流体内部の変形過程で発生する圧縮波）が形成されるまでの過程を示しました。

今回は衝撃波が予め存在すると仮定した上で、流体力学の基本式（連続方程式、運動方程式、エネルギー方程式）を利用した代表モデル（２種類）について、物理を確認していきます。

垂直衝撃波

まず、平面衝撃波がその面に垂直な方向に伝播する場合を考えます。ここで、衝撃波の前後はいずれも一様状態と仮定します。

一様なので、衝撃波の伝播速度は不変です。波面より上流側（１）と下流側（２）に添字で領域を規定します。波面を単位面積・単位時間当たりに通過する流体の質量をＱとしますと、連続方程式から次の関係が導かれます。

$${{\rho}_1{u}_1={\rho}_2{u}_2=Q}$$

同様の理由から、運動方程式より次の関係が導かれます。

$${{\rho}_1{{u}_1}^2+p_1={\rho}_2{{u}_2}^2+p_2}$$

流体が一定比熱の理想流体と仮定すると、エネルギー方程式より次の関係が導かれます。

$${\frac{{u_1}^2}{2}+\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p_1}{\rho_1}=\frac{{u_2}^2}{2}+\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p_2}{\rho_2}}$$

衝撃波の伝播で波面の位置（座標）は時間的に変わりますが、伝播速度は不変なので、波面に合わせて動く座標系は定常状態と言えます。

これらを踏まえて、垂直衝撃波における上流と下流の物理的な関係を導きます。

$${\frac{u_2}{u_1}=\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{(\gamma+1)+(\gamma-1)(p_2/p_1)}{(\gamma-1)+(\gamma+1)(p_2/p_1)}}$$

また、理想流体における温度（Ｔ）と音速（ａ）の関係と紐付けることも可能です。

$${a_n=\sqrt{\gamma{p_n}/\rho_n}=\sqrt{\gamma{R}T_n}}$$

添字（ｎ）は上流と下流で分岐した物理量です。この式から、衝撃波の内情が未知でも前後状態を求めることが可能になります。特に「ランキンーユゴニオ関係式」と呼ばれます。

状況を踏まえると、衝撃波の前後のエントロピーの変化（方向）は正になります。つまり、密度や圧力の変化（方向）は正であり、速度の変化（方向）は負になります。この関係は衝撃波（圧縮波）の性質と整合します。

いま、速度と音速を変数として、衝撃波におけるベルヌーイの方程式は次のように導かれます。

$${\frac{u^2}{2}+\frac{a^2}{\gamma-1}=\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}a_{\ast}}$$

ここで、$${a_{\ast}}$$は臨海音速です。圧力と密度を消去することで、次の関係が導かれます。

$${u_1u_2={a_{\ast}}^2}$$

これを「プラントルの関係式」と言います。流速と音速の比（マッハ数）を規定すると、最終的に次のような関係に落ち着きます。

$${M_{\ast}=\frac{u}{a_{\ast}}}$$ → $${M_{{\ast}1}M_{{\ast}2}=1}$$

これより、衝撃波の通過時にエネルギー保存が成立するならば、上流側では超音速流（マッハ数は１より大きい）、下流側では亜音速流（マッハ数は１より小さい）という傾向が見出せます。

斜め衝撃波

次に、平面衝撃波に対して流れが斜めに当たる場合を考えます。例えば、超音速で飛行する楔形物体の先端付近で発生する場合が挙げられます。

垂直成分は前章で示した通りですが、今回は平行成分も考える必要があります。こちらも運動方程式から次のように導かれます。

$${\rho_1u_1v_1=\rho_2u_2v_2}$$

つまり、垂直成分の連続方程式を踏まえると、速度の平行成分は等しいことが分かります。そして、前章におけるベルヌーイの方程式に対して、次のような修正が入ることが分かります。

$${\frac{u^2}{2}+\frac{a^2}{\gamma-1}=\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}\bigg(a_{\ast}-\frac{\gamma-1}{\gamma+1}v^2\bigg)}$$

右辺の臨海音速の項を修正しただけであり、垂直衝撃波におけるランキンーユゴニオ関係式は、斜め衝撃波に対してもそのまま成立すると言えます。

斜め衝撃波におけるプラントルの関係式も、垂直衝撃波の場合から部分的に修正されます。

$${u_1u_2={a_{\ast}}^2-\frac{\gamma-1}{\gamma+1}v^2}$$

図解に従い、衝撃波角（$${\beta}$$）と偏角（$${\theta}$$）を仮定します。

$${M_1=\frac{\sqrt{{u_1}^2+{v_1}^2}}{a_1}=\frac{q_1}{a_1}}$$

上記のように上流側のマッハ数を規定して、偏角をマッハ数と衝撃波角の関数として表現します。

$${\textrm{cot}{\theta}=\bigg\lbrace{\frac{(\gamma+1){M_1}^2}{2({M_1}^2\textrm{sin}^2{\beta}-1)}-1}\bigg\rbrace{\textrm{tan}{\beta}}}$$

以上の２種類は衝撃波に関する代表的なモデル化でもあるため、基礎的な検証として扱われることも多いです。

おわりに

今回は衝撃波に関する代表的な物理モデル（垂直衝撃波と斜め衝撃波）の概要を見ていきました。

圧縮性流体において、波動（密度波）の伝播は比較的に高速です。このような「高速気流」の現象について、次回より詳細に見ていくことにします。

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