【高校情報授業・共通テスト】二項分布と正規分布／ベルヌーイ試行／Z値・期待値／標準正規分布エクセル(Excel)グラフ作成
二項分布と正規分布／ベルヌーイ試行／Z値・期待値
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【文字おこし】
今回は、統計関連の二項分布と正規分布について解説していきます。
前回の動画で説明した分散と標準偏差に関する事前知識が必要なので、知識の習得が未だの方は概要欄に貼ってある、分散と標準偏差に関する知識をみにつけてからこの動画を見てください。
まずは、二項分布について説明していきます。
世の中には２つの状態で表されるものが沢山ありますよね。
例えば、コインを投げた時に表が出るか、裏が出るか。
実験を行ったときに、成功するか、失敗するか。
６面体のサイコロにしても、１がでるか、それ以外が出るかと２つの状態に言い換えることもできます。
コインを投げた時に表が出るのは、普通に考えると２回に一回なので、確率は２分の１になります。
コインの表が出たら１点 裏なら０点として、４回投げて合計が１点 つまり表が１回だけ出る確率を求めていきましょう。
左側に分岐のパターン、右側には点数の合計の数 つまり合計の度数分布を表しています。
まず初めの１回目は 表と裏のパターンがあり裏なら０点 表なら１点となります
２回目について
一回目が裏のパターンから裏と表のパターンがあり裏なら１回目の点数も０なので０点、表なら１点となります。
１回目が表の場合も２回目は裏と表があります。
裏の場合は合計値は一回目１点＋２回目０点で１
表の場合は、一回目１点 ２回目１点で ２となります。
合計の度数の分布は、０点が１つ １点が２つ ２点が１つとなります。
３回目も同様に分岐させて、表の場合は２回目までの合計に＋１点します。
合計の度数の分布は、０点が１つ １点が３つ ２点が３つと ３点が１つとなります。
４回目も同様に分岐させて、表の場合は３回目までの合計に＋１点します。
合計の度数の分布は、０点が１つ １点が４つ ２点が６つと ３点が４つ すべてで表が出た４点は１つとなります。
つまり、コインを４回投げた時に表が1回だけ出るのは度数が１のパターンで１６分の４ を約分して四分の１の確率となります。
この確率はグラフ全体の度数の合計値に対する該当する範囲の度数の割合と同じになります。
試行結果が表か裏、成功か失敗、勝ちか負けか、１かそれ以外かのように2通りしかない試行をベルヌーイ試行といいます。
今回はこのベルヌーイ試行を４回行いましたが
ベルヌーイ試行を複数回行った場合で、ある事象が何回起こるかの確率分布を二項分布といいます。
今度は成功か失敗のパターンで確率を変えて考えていきます。
１回で成功する確率をｐとします。
そして、実験した回数（試行回数）をｎ回とします。
そして、実験で成功した回数をｋとします。
ｎ回試してk回成功する確率Ｐを求めていきます。
このkの値を色々変えていきながらグラフに表したものを二項分布と言います。
Ｐ（Ｘ=k） はk回成功した場合の確率という意味です。
それを求めていきます
ｎ回の内k回が成功のパターンで
成功の確率はpでそれをk回行うのでpのk乗となります。
逆に失敗の確率は、全体から成功の確率を引けばいいので１―ｐ となります。
失敗の回数は試行回数ｎから成功の回数ｋを引いてあげればいいのでn-kとなります。
そしてｎ回のうちk回が成功するパターンは
例えば３回の内 1回が成功の例だと
成功 失敗 失敗
失敗 成功 失敗
失敗 失敗 成功
の場合があります。
そのパターンの分も掛け合わせる必要があり、それはnＣkで表されます。
つまりパターン数×ｎ回の内k回の成功確率×ｎ回の内 失敗の確率 となります。
二項分布のグラフで表すと
縦軸を確率Ｐ（Ｘ=k） 横軸を成功回数kとすると
試行回数ｎ回の内 成功回数のkが０の時の確率、ｋが１回の時の確率 kが２回の時の確率というようにｋを増やしていき 一番右側のパターンはn=kなので すべて成功したパターンの確率となります。
※さっきのパターン
一番初めに説明したコイン投げのパターンに当てはめてみましょう。
表が出る確率が２分の１なので０．５ 試行回数４回で、 表が１回出る確率を公式に当てはめて求めると
4C1×０．５の1乗 ×（１－０．５）４－1乗となり
4 ×０．５× ０．１２５ ＝０．２５ となり 先ほど図を書いて計算した結果と一致しました。
確率的に期待される期待値というものがあります。
例えば、この二項分布のグラフの場合、５が期待値で、最も確率が高いことが分かります。
期待値の求め方は公式があって 事象が起こる確率×試行回数で求められます。
例えば成功確率が３分の１ 試行回数が３０回の場合は ３分の１×３０で１０回が期待値となります。
―――
二項分布のグラフは、試行回数を増やしていくとこのような左右対称の曲線に近づきます。
言い換えると、中央の値の発生頻度が最も多く、それを中心に左右対称で発生頻度が少なくなります。このような分布を正規分布と言います。
平均が０、分散が１ つまり標準偏差が１の正規分布を標準正規分布と言います。
平均が０というのはわかりずらいかもしれませんが
例えば１とー１の平均は０となります。
――
このグラフで囲まれた面積全体を１とすると、
横軸の値をＺとして、Ｚが０と１ の間の面積は 全体の３４．１３％を占めます。左右対称なので０とー１の間の面積も全体の３４．１３％となります。
範囲を広げて０～２の間の面積は、全体の４７.７２％を占めます。左右対称なので０とー２の間の面積も全体の４７.７２％となります。
つまり、―２～２の間で全体の９５．４４％の面積となります。
Ｚが４～―４の範囲は面積全体の１００％となります。
横軸をＺと言いましたが、あるデータｘが平均値(μミュー)からどれだけ離れているかを、標準偏差σ（シグマ）を単位として示した値を Ｚ値 と言います。
Ｚ値の求め方は、標準偏差σ 分の 値ｘ ― 平均μ で求めることができます。
正規分布表と比べながら、具体的な例でみていきましょう。
情報の試験を行ったときの平均点が５５点 標準偏差が１０の場合
６５点の生徒が上位何パーセントの位置にいるかを調べていきましょう。
この試験の得点は正規分布に従うものとする
まずＺ値は 標準偏差 １０ 分の 生徒点数の６５―平均値の５５をすると１．０となります。
先ほどの標準正規分布の表では、この１から４の間の面積の割合は１５．８７％
なので、上位１５．８７％ということが分かります。
最後にエクセルを使って、標準正規分布のグラフを作成していきます。
Ｚをー４から４の範囲で０．１間隔とします。
はじめのー４とー３．９を入力した後は二つを範囲指定して、右下の黒■の上にマウスカーソルをあてて、下にドラックすれば簡単に４までの数字が自動入力されます。
Ｙ軸の確率の計算は、ノーマルスタンダードディストリビューション関数を使います。
ＮＯＲＭ．Ｓ．ＤＩＳＴの関数を選んで 第一引数にＺ値のセルを選びます。
第二引数をＦａｌｓｅにすると 値がＺの時の標準正規分布の値を算出してくれますので今回はＦａｌｓｅとします。
Ｔｒｕｅ にすると値がＺ以下の範囲の標準正規分布の割合を出してくれます。
１行目について算出されたので、オートフィルを使って関数を下にコピーします。
個人的な感想ですが、
このノーマルスタンダードディストリビューション関数って名前物凄くかっこよくないですか？男性生徒は女子に標準正規分布グラフを教える機会があれば、
ノーマルスタンダードディストリビューション関数使えば簡単だよ と言えば、モテモテかもしれません。
グラフにしたい範囲を範囲指定して、挿入からおすすめグラフで折れ線グラフを選べば、標準正規分布のグラフが描けます。
今日の二項分布と正規分布の授業は以上になります。
最後までご視聴ありがとうございました。
【解説重要用語】
オ二項分布、ベルヌーイ試行、正規分布、標準正規分布、期待値、Z値、正規分布（Excelグラフ）、NORM.S.DIST関数（ノーマル・スタンダード・ディストリビューション関数）
★私の目標
「とある男が授業をしてみた」 の葉一さん
https://www.youtube.com/user/toaruotokohaichi
※Google社に招待頂いた、「YouTube教育クリエイターサミット2020」で
葉一さんと文部科学省・Google役員の対談セッションに感銘を受けて、高校情報講座スタートしています。
【参考サイト・参考文献】
参考サイト（YouTube動画）ソフトキャンパスＥｘｃｅｌ学校https://www.youtube.com/watch?v=a9uh9s3bQh4
文部科学省 「情報Ⅰ」教員研修用教材
https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/zyouhou/detail/1416756.htm
詳細（情Ｉ703 高校情報Ｉ Python）｜情報｜高等学校 教科書・副教材｜実教出版 (jikkyo.co.jp) 検定通過版
https://www.jikkyo.co.jp/book/detail/22023322
令和4年度新版教科書「情報Ⅰ」｜高等学校 情報｜日本文教出版 (nichibun-g.co.jp)検定通過版
https://www.nichibun-g.co.jp/textbooks/joho/2022_joho01_1/textbook/
その他、情報処理技術者試験（全レベル１～４）／IT企業15年勤務（システム技術部 部長）経験から培った知識を交えながら解説しています。
かわいいフリー素材集 いらすとや (irasutoya.com)
https://www.irasutoya.com/