亀の方が遅いのに一生追いつけない？ ～アキレスと亀のパラドックス～
みなさんこんばんは、福田達也です。
哲学の有名なパラドックス（逆説）の一つに『アキレスと亀』というお話があります。「アキレスがどれだけ速く走ったとしても、前を歩くのろまな亀に追いつくことはできない」という話です。
パラドックスとは、意外となぜ間違っているかを説明するのは難しいもの。実体験から明らかに嘘だということは分かるのですが、これは一体何を意味しているのでしょうか。改めて調べてまとめてみました。
アキレスと亀
ある真っ直ぐな道を亀が歩いており、アキレスが亀よりも速いスピードで後ろから走って追いかけている。説明のため、亀が最初にいた点をK1とする。
アキレスが亀に追いつくためには、アキレスはまず亀が最初にいたK1にたどり着かなければならないが、アキレスがK1にたどり着いた時、亀はその少し先のK2まで歩いている。
また少し経って、アキレスがK2にたどり着いた時には、亀はそのまた少し先のK3まで歩いている。
このように、アキレスが亀がもといたところに辿り着いた時には亀は必ずその先に行っているため、いつまでたっても追いつくことは出来ないというお話です。
どう考えるべきか
直感的に考えれば、私たちは亀に追いつくことはできるので、この主張は明らかに間違っています。ただ、どこが間違っているのかがパッとはわからない。これが、この問題がパラドックスであると言われるゆえんです。
追いつけるかどうかを確かめる
まずは追いつくことができることを示しましょう。アキレスの速さをA(m/s)、亀の速さをK(m/s)として、二人の間の距離をL(m)とすると、1秒あたりにA-K(m)距離が縮まるため、L/(A-K)秒後にアキレスは亀に追いつきます。これは、横軸を時間、縦軸を距離でグラフを書いてみると分かりやすいですね。
定性的に考える
では追いつくことができるのに、なぜ追いつけないというような結論を出してしまうのか。これは、無限に話を続けられるということと、無限の時間がかかるということを混同しているためです。
例えばここに一つのパイがあるとして、これを半分の大きさに切ります。そして、半分に切ったパイの片方を更に半分に切ります。この動作を繰り返すことは無限に出来ますが、だからといってパイの大きさは無限にはなりません。
数学的（定量的）に考える
また、このパラドックスを破るために、数学的に捉える考え方もあります。
アキレスがK1に達するまでの時間と、K1からK2までにかかる時間は、K1からK2までにかかるまでの時間の方が短いです。同じように、K2からK3までにかかる時間は、K1からK2までにかかる時間より短いです。
すなわち、アキレスはK1、K2、K3…と無限に続く次の亀の位置に近づいていきますが、そこまでにかかる時間は無限に小さくなっていきます。
高校数学を学んだ方であれば、極限の概念を扱った事があるでしょう。無限に小さくなっていくものを無限に足し合わせた時、その答えは有限の数字になることがあります。
話の発祥
ちなみにこの話の発祥ですが、古代ギリシャ時代の哲学者であるゼノンが、対抗派閥であるピタゴラス学派の主張がおかしいと主張するために出した問いかけだそうです。
このパラドックスを持ち出して、人々におかしいと論破させることで、相手の主張に矛盾があることを気づかせたとのことです。
一見正しいようで、何かが違うと感じる時、その背景には、話の前提がおかしかったり、自分たちの思い込みが原因だったりします。そういったことを気づかせてくれる話だなと感じました。
終わりに
今回は有名なパラドクスの一つである、『アキレスと亀』について紹介しました。
物事を解釈する時、ある一つの場所から見ているとどうやっても解けずに袋小路に入り込むことがよくあります。そんなときに、思い込みを捨てて、同じ事象を他の目線から見たらどうだろうと、考える癖をつけることが重要だと感じました。
また、他の人の話を聞く際にも、それがどのような前提から話しているかをきちんと理解する事が重要です。
本日も読んでいただき、ありがとうございました。
また別の記事でお会いできるのを楽しみにしています。
参考文献
本記事は、以下のページの内容を参考に作りました。この場を借りてお礼申し上げます。
https://ai-trend.jp/basic-study/special-feature-article/achilles/