同値関係と両立する写像（８）

前回は環における合同関係を調べるとイデアルが現れた。そして合同関係とイデアルは１：１対応の関係であった。

今回は単位的半群上の加群（Ｒ加群）の場合を調べよう。まずＲ加群の定義を述べる前に、話は一旦「作用」の定義に溯ろう（１節）。そのあと単位的半群上の加群を定義しよう（２節）。定義を理解されている方は話のメインである３節から入って頂いて構わない。このような代数系の例としては、線形空間（あるいはベクトル空間）は体上の加群であり、環は自分自身の上の（両側）加群でもある。それゆえＲ加群は環の拡張概念であり、前回の結果を含む。Ｒ加群における合同関係から部分加群が現れ、合同関係と部分加群が１：１対応することをみよう。

１．作用の定義

まず「作用」とは何かを説明するのに、過去の記事で概念的に気持ちだけ述べていた。

今回はＲ加群という厳格な数学的対象があるので、気持ちだけではなく定義を厳密にしよう。

ａを任意の対象とし、Ｘを任意の集合とする。対象ａが影響してＸの元が別の元に写されることを考える。

集合Ｘ上の変換とは、集合Ｘから集合Ｘへの写像のことをいう。

対象ａが集合Ｘに作用するとは、対象ａがＸ上の変換ρ(ａ)に対応する：
　ａ↦ρ(ａ)
ときにいう。対象ａに対応する変換ρ(ａ)によるｘ∈Ｘの像を、簡単にａｘで表す：
　ａｘ＝(ρ(ａ))(ｘ)

ａｘは対象ａがＸ上の変換そのものであれば、対応する元の書き方としてａ(ｘ)と括弧を付けて書くべきだが、ａｘと書いて括弧(   )を省略しても書き方として特に困ることはない。対象ａはＸ上の変換そのものでなくてもよいという趣旨は、「Ｘの変換全体」への対応ρによって実現されている。

いくつかの作用する対象を考える場合は、集合Ａ上の作用という概念に拡張すればよい。即ち、集合Ａの任意の元が集合Ｘの上に作用するとき、集合Ａは集合Ｘに作用するという。

次に集合Ｘに何らかの構造を持っていて、Ｘ上の変換としてはその構造と両立するようなものを考えよう。これをＸ上の自己準同型(endomorphism)と呼び、そのすべてから成る集合をEnd(Ｘ)と書く。２つの変換がともに構造と両立するとき、その２つの変換を合成してもまた両立して然るべきであろう：
　◦：End(Ｘ)×End(Ｘ)→End(Ｘ)
　　(ｆ，ｇ)↦ｆ◦ｇ
　　ｆ◦ｇ(ｘ)＝ｆ(ｇ(ｘ))　（ｘ∈Ｘ）

そこで作用する集合Ａには乗法（・）が与えられていて、対応する変換全体における合成（◦）と両立していると仮定しよう：
　・：Ａ×Ａ→Ａ，(ａ，ｂ)↦ａ・ｂ
　ρ(ａ・ｂ)＝ρ(ａ)◦ρ(ｂ)
　（ａ，ｂ∈Ａ）
即ち、
　(ａ・ｂ)ｘ＝ａ(ｂｘ)　，（ａ，ｂ∈Ａ，ｘ∈Ｘ）　　　･･･（１）

ところで合成写像の記法であるが、一般に２つ自己準同型ｆとｇの合成写像ｆ◦ｇ：Ｘ→Ｘは
　ｆ◦ｇ(ｘ)＝ｆ(ｇ(ｘ))　（ｘ∈Ｘ）
を意味する。これはｘを写像ｇで写してから、写った像ｇ(ｘ)を写像ｆで写すという順番となる。この記法に従って写す順番をｆからｇの順にしたければ
　ｇ◦ｆ
と記述しなければならない。写像の順番としてどちらを優先するかという選択は、単に決めの問題に過ぎない。そこで◦の合成の意味でその反転を与える新しい合成を◦’で書こう：
　◦’：End(Ｘ)×End(Ｘ)→End(Ｘ)
　　(ｆ，ｇ)↦ｆ◦’ｇ
　　ｆ◦’ｇ(ｘ)＝ｇ◦ｆ(ｘ)
　　　　　　＝ｇ(ｆ(ｘ))　（ｘ∈Ｘ）

こうして、Ａの乗法が対応する自己準同型の合成と両立するというのは◦’の意味でもよい：
　ρ(ａ・ｂ)＝ρ(ａ)◦’ρ(ｂ)
　（ａ，ｂ∈Ａ）

その場合は、写像ρを
　(ρ(ａ))(ｘ)＝ｘａ
と書くと分かりやすくなる。この記法に従えば
　ｘ(ａ・ｂ)＝(ρ(ａ・ｂ)) (ｘ)
　　　　　　＝(ρ(ａ)◦’ρ(ｂ)) (ｘ)
　　　　　　＝(ρ(ｂ)◦ρ(ａ)) (ｘ)
　　　　　　＝(ｘａ)ｂ　，（ａ，ｂ∈Ａ，ｘ∈Ｘ）　　　･･･（２）
となって、作用する順番が表記した順番と素直に対応する。

こうして、(Ａ，・)が何らかの構造を持った集合Ｘに作用するとは、（１）または（２）を満たすような写像：
　ρ：Ａ→End(Ｘ)
をいう。

これらをまとめて、
（１）　ρ：(Ａ，・）→(End(Ｘ)，◦)　が準同型写像
のときに、ＡはＸに左作用するといい、
（２）　ρ：(Ａ，・）→(End(Ｘ)，◦’)　が準同型写像
のときに、ＡはＸに右作用するという。

Ａが単位元１を持つとき、左右どちらの作用についても準同型は単位元を単位元に写すことを課すからρ(１)は恒等写像：
　(ρ(１))(ｘ)＝ｘ　（ｘ∈Ｘ）
となる。

また、Ａの乗法が可換であれば、左作用と右作用の概念は一致する。実際、
　ａ(ｂｘ)＝(ａｂ)ｘ＝(ｂａ)ｘ＝ｂ(ａｘ)　
（ａ，ｂ∈Ａ，ｘ∈Ｘ）
であるから、ｂの作用のあとにａの作用をするものと、ａの作用のあとにｂの作用をするものは一致する。そのときは左右の区別を取り払って単に「ＡはＸに作用する」という。

２．Ｒ加群の定義

(Ｒ，・，１)を単位的半群、(M，＋，－，０)を可換群とする。可換群Ｍは加法の記号（＋）で書きたいのでここでは加法群Ｍと呼ぶ。Mが左Ｒ加群（left R-module）であるとは、
　（１）　(ａ・ｂ)ｘ＝ａ(ｂｘ)　，（ａ，ｂ∈Ｒ，ｘ∈Ｍ）
　（２）　１ｘ＝ｘ　，（ｘ∈Ｍ）
　（３）　ｘ↦ａｘ　が加法群Ｍにおける自己準同型写像であること：
　　　　　ａ(ｘ＋ｙ)＝ａｘ＋ａｙ　，（ａ∈Ｒ，ｘ，ｙ∈Ｍ）
となるときにいう。（３）で加法についてのみであるが、このとき
　ａ０＝ａ(０＋０)＝ａ０＋ａ０
より、両辺－ａ０を加えれば
　ａ０＝０　，（ａ∈Ｒ）
となる。また、
　ａｘ＋ａ(－ｘ)＝ａ(ｘ＋(－ｘ))
　　　　　　　　＝ａ０
　　　　　　　　＝０
より
　ａ(－ｘ)＝－ａｘ　，（ａ∈Ｒ，ｘ∈Ｍ）
となる。従って、Ｒの各元ａで単位元は単位元に、逆元は逆元に写るから自動的にｘ↦ａｘが加法群Ｍの自己準同型となる。

Ｒの左作用は、各ａ∈Ｒに対して、Ｍに１項演算
　ｘ↦ａｘ
を定めている考えられる。

そこでＲ加群Ｍの部分集合Ｎが、Ｍのすべての演算でＮが閉じているとき、即ち、
　・（Ｎ，＋，－，０）はＭの部分加法群である
　・Ｒの左作用で閉じている：
　　ａ∈Ｒ，ｘ∈Ｎ　⇒　ａｘ∈Ｎ
であるとき、Ｎを部分加群（submodule）、あるいは作用している集合を陽に表してＲ-部分加群という。

なお、右Ｒ加群（right R-module）も同様に定義される。その際の部分加群も「左」を「右」として読み替えていけばよい。

Ｍが左Ｌ加群で、右Ｒ加群で、さらに左右の作用が可換であるとき、Ｍは両側(Ｌ，Ｒ)加群（L,R-bimodule）という。特にＬ＝Ｒのときは両側Ｒ加群という。左右の作用が可換であるとは、
　(ａｘ)ｂ＝ａ(ｘｂ)　（ａ∈Ｌ，ｂ∈Ｒ，ｘ∈Ｘ）
を意味する。従ってこの値はａｘｂと括弧を書き忘れてもよい。

環Ｒは自分自身Ｒに、環Ｒの乗法によって左ないし右作用する：
　ａ・ｘ＝ａｘ，ｘ・ａ＝ｘａ　（ａ，ｘ∈Ｒ）
（左辺の・は作用の意味で、右辺はＲの乗法の意味である）
この左（右）作用を自然な左（右）作用という。そして環Ｒは乗法について結合法則を満たすから、両側Ｒ加群である。この作用を自然な両側作用という。前回『同値関係と両立する写像（７）』の「１．環の定義」においてこのような用語を定義していたのは、作用の定義に由来していたからである。

３．合同関係から部分加法群

Ｒを単位的半群、Ｍを加法群とし、左Ｒ加群Ｍに合同関係～が与えられているとする。

まず、～はＭの加法について両立するとき、
　Ｎ＝｛ｘ∈Ｍ｜ｘ～０｝
とおくとＮはＭの部分加法群となることは群のところで既に見た。

次に～がＲの左作用についても両立することから、
　ｘ∈Ｒ，ａ∈Ｎ　⇒　ｘａ～ｘ０＝０
　　　　　　　　　⇒　ｘａ∈Ｎ

まとめると、
・～が加法と両立する　
　⇒　（ⅰ）ＮはＲの部分加法群である
・～がＲの左作用と両立する
　⇒　（ⅱ）ＮはＲの自然な左作用で閉じている
ということがわかった。

この（ⅰ），（ⅱ）の条件を満たすＭの部分集合ＮはＭの部分加群に他ならない。

また、このとき
　ａ～ａ’　⇔　ａ－ａ’∈Ｎ
が成り立つ。

４．部分加法群から合同関係

Ｒを単位的半群、Ｍを加法群とし、集合Ｎを左Ｒ加群Ｍの部分集合とする。

ＮをＭの部分加法群（条件（ⅰ））とし、
　ａ～ａ’　⇔　ａ－ａ’∈Ｎ
によって関係～を定義すると、これは同値関係となり、
　ａ～ａ’，ｂ～ｂ’　⇒　　ａ＋ｂ－（ａ’＋ｂ’）
　　　　　　　　　　　＝（ａ－ａ’）＋（ｂ－ｂ’）∈Ｎ
　　　　　　　　　⇒　ａ＋ｂ～ａ’＋ｂ’
となる。よって、同値関係～は加法と両立する。

ＮがＭの部分加法群（条件（ⅰ））でさらにＮはＲの左作用で閉じている（条件（ⅱ））とすると、
　ｒ∈Ｒ，ａ～ａ’　⇒　ｒａ－ｒａ’
　　　　　　　　　　　＝ｒ（ａ－ａ’）
　　　　　　　　　　　∈Ｎ
　　　　　　　　　⇒　ｒａ～ｒａ’
となるから、同値関係～はＲの左作用とも両立する。

まとめると、
・（ⅰ）ＮはＭの部分加法群である
　⇒　～は加法と両立する
・（ⅰ）ＮはＭの部分加法群で、
　（ⅱ）ＮはＲの左作用で閉じている
　⇒　～はＲの左作用と両立する
ということがわかった。

よってＭの部分集合Ｎが部分加群であるとき、上で定める同値関係～は、Ｒ加群Ｍの合同関係である。

５．１：１対応

こうして、左Ｒ加群Ｍにおいてその合同関係とＭの部分加群の間には１：１対応が付く：
　　　｛左Ｒ加群Ｍの合同関係｝↔｛左Ｒ加群Ｍの部分加群｝
　　　　　　　　　　　～　　　↔　　　Ｎ

こうして左Ｒ加群の部分加群は、左Ｒ加群の上の合同関係によって特徴づけられるし、逆も同様である。

６．右作用、両側作用の場合

以上３節～５節の議論はＲ加群Ｍが左作用に対する議論であったが、同じことが右作用に対する議論もでき、同様な結論が得られる：
　　　｛右Ｒ加群Ｍの合同関係｝↔｛右Ｒ加群Ｍの部分加群｝
　　　　　　　　　　　～　　　↔　　　Ｎ

両側作用であれば左作用と右作用の結果から共通を取ればよい：
　｛両側(Ｌ，Ｒ)加群Ｍの合同関係｝↔｛両側(Ｌ，Ｒ)加群Ｍの部分加群｝
　　　　　　　　　　　　　～　　　↔　　　Ｎ

７．まとめ

今回は単位的半群Ｒに対するＲ加群を例に合同関係について調べた。Ｒ加群の合同関係は自然にＲ-部分加群を引き起こし、Ｒ-部分加群によって特徴づけられることをみた。

また、この結果の環Ｒの場合への適用としては、環Ｒを両側Ｒ加群とみれば、合同関係は両側Ｒ部分加群、即ちイデアルに対応する。これは前回の結果と一致する。