同値関係と両立する写像（１０）

準同型定理を使って得られる同型定理に、第１同型定理と第２同型定理がある。今回と次回はこれを題材に考察してみよう。まずは第１同型定理を一般の代数系で議論し、この定理を群、環、Ｒ加群の場合に翻訳しよう。

第１同型定理では、代数系Ａの部分代数Ｂ（Ａのすべての演算について閉じている代数系）に注目する。Ａ上の合同関係θを部分代数Ｂ上に制限した合同関係θ’が引き起こす商代数Ｂ／θ’と、部分代数Ｂの元とθの意味で合同である元全体Ｂθ（これも部分代数）を作って、合同関係θをその上に制限した合同関係θ’’が引き起こす商代数Ｂθ／θ’’とが、同型対応する。

満点の星空（Ａ）にいくつかの星座を、どの見える星もどこかの星座にただ１つだけ属するように好きに描いたとしよう（θ）。１～２等星の星（Ｂ）に限って眺めれば、３等星以降の星たちで作られる星座はなくなる。残った星座の全体（Ｂ／θ’）は、残った星座に３等星以降の星を追加してあげて（Ｂθ’）、そこでの星座の全体（Ｂθ／θ’’）をみても変わらない（≅）。

１．第１同型定理

Ａを代数系でＡ上の合同関係θがあるとしよう。

空でないＡの部分代数Ｂを考える。

まず、Ａの中でＢのある元とθで同値なものをＢθとおく：
　Ｂθ＝｛ａ∈Ａ｜あるｂ∈Ｂがあってａθｂとなる｝

Ｂ⊂Ｂθであることはθの反射律の性質から従う。

従って自然な単射準同型
　ｉ：Ｂ→Ｂθ，ｂ↦ｂ
がある。

次に、ＢθもＡの部分代数となる。実際、Ａの任意のｎ項演算μについて
　　ｂ(1)，･･･，ｂ(n)∈Ｂθ　
⇒　あるａ(k)∈Ａで、ｂ(k)θａ(k)　（各ｋ＝１，･･･，ｎ）
⇒　μ(ｂ(1)，･･･，ｂ(n))θμ(ａ(1)，･･･，ａ(n))　　（∵θはＡ上の合同関係）
⇒　μ(ｂ(1)，･･･，ｂ(n))∈Ｂθ
となる。

またθをＢまたはＢθの中で制限すれば、ＢまたはＢθにおける合同関係θ’，θ’’となる：
　θ’＝θ∩(Ｂ×Ｂ)
　θ’’＝θ∩(Ｂθ×Ｂθ)

従ってＢからの自然な全射準同型
　π’：Ｂ→Ｂ／θ’
およびＢθからの自然な全射準同型
　π’’：Ｂθ→Ｂθ／θ’’，ｂ↦ｂ／θ’’
がある。

単射準同型
　ｉ：Ｂ→Ｂθ
と全射準同型
　π’’：Ｂθ→Ｂθ／θ’’
を合成したものをｆとおく：
　ｆ＝π’’◦ｉ：Ｂ→Ｂθ／θ’’，ｂ↦ｂ／θ’’

ｆは全射準同型であり、よって準同型定理より
　ｆ＝ｇ◦π’
となる同型
　ｇ：Ｂ／θ’→Ｂθ／θ’’
を引き起こす。

こうして以下の第１同型定理が得られた。

【第１同型定理】
Ａを代数系、θをＡ上の合同関係とする。Ａの部分代数Ｂに対して、
（１）Ｂθ＝｛ａ∈Ａ｜あるｂ∈Ｂがあってａθｂとなる｝
はＡの部分代数であり、
（２）同型
　Ｂ／θ’≅Ｂθ／θ’’
を引き起こす。
ただし、ＢおよびＢθにおける合同関係はθの制限
　θ’＝θ∩(Ｂ×Ｂ)
　θ’’＝θ∩(Ｂθ×Ｂθ)
とした。

２．群の場合

群においては同値関係は正規部分群に対応し、部分代数とは部分群のことである。

また、群Ｇの部分群Ｈと合同関係をθ、θ対応する正規部分群をＮとすると
　Ｈθ＝｛ｇ∈Ｇ｜あるｈ∈Ｈがあってｇθｈとなる｝
　　　＝｛ｇ∈Ｇ｜あるｈ∈Ｈがあってｇｈ’∈Ｎとなる｝
　　　＝｛ｇ∈Ｇ｜あるｈ∈Ｈがあってｇ∈Ｎｈとなる｝
　　　＝｛ｇ∈Ｇ｜ｇ∈ＮＨ｝
　　　＝ＮＨ
となる。なお、Ｎが正規部分群であることは
　任意のｇ∈Ｇについて、ｇＮ＝Ｎｇ
であったから
　ＮＨ＝ＨＮ
である。

また、θ’＝θ∩(Ｈ×Ｈ)は、
　　　(ｇ，ｈ)∈θ’＝θ∩(Ｈ×Ｈ)
　⇔　(ｇ，ｈ)∈θ　かつ　(ｇ，ｈ)∈Ｈ×Ｈ
　⇔　ｇｈ’∈Ｎ　かつ　(ｇ，ｈ)∈Ｈ×Ｈ
　⇔　ｇｈ’∈Ｈ∩Ｎ　かつ　(ｇ，ｈ)∈Ｈ×Ｈ
従って、ｇ，ｈ∈Ｈについて
　(ｇ，ｈ)∈θ’　⇔　ｇｈ’∈Ｈ∩Ｎ
となる。これはθ’に対応するＨの正規部分群がＨ∩Ｎであることを意味する。

さらに、θ’’＝θ∩(ＨＮ×ＨＮ)は上の議論によって、ｇ，ｈ∈ＨＮについて
　(ｇ，ｈ)∈θ’’　⇔　ｇｈ’∈Ｎ∩ＨＮ＝Ｎ
となる。これはθ’’に対応するＨＮの正規部分群がＮであることを意味する。

以上より群の第１同型定理を得る：

【群の第１同型定理】
Ｇを群、ＮをＧの正規部分群とする。Ｇの部分群Ｈに対して、
（１）ＨＮ＝｛ｈｎ∈Ｇ｜ｈ∈Ｈ，ｎ∈Ｎ｝
はＧの部分群であり、
（２）同型
　Ｈ／(Ｈ∩Ｎ)≅ＨＮ／Ｎ
を引き起こす。

３．環の場合

環においては同値関係はイデアルに対応し、部分代数とは部分環のことである。環を加法に制限すれば加法群であるから、群の場合における結果がそのまま適用される：

【環の第１同型定理】
Ｒを環、ＩをＲのイデアルとする。Ｒの部分環Ｓに対して、
（１）Ｓ＋Ｉ＝｛ｓ＋ｉ∈Ｒ｜ｓ∈Ｓ，ｉ∈Ｉ｝
はＲの部分環であり、
（２）同型
　Ｓ／(Ｓ∩Ｉ)≅(Ｓ＋Ｉ)／Ｉ
を引き起こす。

４．Ｒ加群の場合

Ｒ加群においては同値関係は部分加群に対応し、部分代数とは部分加群のことである。これもＲ加群を加法に制限すれば加法群であるから、群の場合における結果がそのまま適用される：

【Ｒ加群の第１同型定理】
Ｒを単位的半群、ＭをＲ加群、Ａ，ＢをＭの部分加群とすると、
（１）Ａ＋Ｂ＝｛ａ＋ｂ∈Ｍ｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝
はＭの部分加群であり、
（２）同型
　Ａ／(Ａ∩Ｂ)≅(Ａ＋Ｂ)／Ｂ
を引き起こす。

５．まとめ

今回は第１同型定理を導き、これを群、環、Ｒ加群の場合にそれぞれ翻訳した。