同値関係と両立する写像（９）

前回までで群、環、Ｒ加群という個々の具体的な代数系の場合に合同関係が、正規部分群、イデアル、部分加群という「特殊な部分集合」と１：１対応したことをみた。

一方、『同値関係と両立する写像（３）』でみたように、合同関係があればその商集合への自然な全射が準同型となるように商集合上にすべての演算が引き起こされた。

群、環、Ｒ加群の場合に、引き起こされた商集合上のすべての演算によって成す代数系が、もとの代数系のもつ公理をすべて満足し、それぞれ再び群、環、Ｒ加群となることをみよう。

１．剰余群

群Ｇの合同関係～から、商集合Ｇ’（＝Ｇ／～）上にもそれぞれの演算が同時に引き起こされる：
　・乗法：Ｇ’×Ｇ’→Ｇ’
　　[ｘ][ｙ]＝[ｘｙ]　
　・単位元：｛＊｝→Ｇ’
　　１＝[１]　　　（※注意１）
　・逆元：Ｇ’→Ｇ’
　　[ｘ]’＝[ｘ’]
そして合同関係～に対応するＧの正規部分群をＨとすると、Ｈの定義から
　Ｈ＝[１]
である。

一般の同値類は
　[ｘ]＝｛ｇ∈Ｇ｜ｇ～ｘ｝
　　　＝｛ｇ∈Ｇ｜ｇｘ’～１｝
　　　＝｛ｇ∈Ｇ｜ｇｘ’∈Ｈ｝
　　　＝｛ｇ∈Ｇ｜ｇ∈Ｈｘ｝
　　　＝Ｈｘ
　（ｘ∈Ｇ）
となる。

従って、
　Ｇ’＝｛Ｈｘ｜ｘ∈Ｇ｝
と書ける。（※注意２）

Ｇ’のこの乗法が結合法則を満たすことはＧで満たすことから従う：
　（ＨｘＨｙ）Ｈｚ＝ＨｘｙＨｚ
　　　　　　　　　＝Ｈ（ｘｙ）ｚ
　　　　　　　　　＝Ｈｘ（ｙｚ）　　（∵Ｇの結合法則）
　　　　　　　　　＝Ｈｘ（Ｈｙｚ）
　　　　　　　　　＝Ｈｘｙｚ
　（ｘ，ｙ，ｚ∈Ｇ）

従ってＧ’はこの乗法によって群を成す。

Ｇ’＝Ｇ／～のことをＧ／Ｈと書き、これはＧのＨによる剰余群，または商群（quotient group）と呼ばれる。

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※注意１：同じ１という記号を使うが、乗法の単位元を１と書くことにする。どこの世界における１なのか文脈から判断つく場合は特に断らずに使おう。また加法の単位元は０と書く。２節、３節も同様である。

※注意２：一般にはｘ≠ｙでもＨｘ＝Ｈｙとなる場合がある。その場合、右辺の集合の元の表示はいくつか重複があることに注意。２節、３節も同様である。

２．剰余環

環Ｒの合同関係～から、商集合Ｒ’（＝Ｒ／～）上にもそれぞれの演算が同時に引き起こされる：
　・乗法：Ｒ’×Ｒ’→Ｒ’
　　[ｘ][ｙ]＝[ｘｙ]　
　・乗法の単位元：｛＊｝→Ｒ’
　　１＝[１]　
　・加法：Ｒ’×Ｒ’→Ｒ’
　　[ｘ]＋[ｙ]＝[ｘ＋ｙ]　
　・加法の単位元：｛＊｝→Ｒ’
　　０＝[０]　
　・加法の逆元：Ｒ’→Ｒ’
　　－[ｘ]＝[－ｘ]
　
そして合同関係～に対応するＲのイデアルをＡとすると、Ａの定義から
　Ａ＝[０]
である。

一般の同値類は
　[ｘ]＝｛ｒ∈Ｒ｜ｒ～ｘ｝
　　　＝｛ｒ∈Ｒ｜ｒ－ｘ～０｝
　　　＝｛ｒ∈Ｒ｜ｒ－ｘ∈Ａ｝
　　　＝｛ｒ∈Ｇ｜ｒ∈ｘ＋Ａ｝
　　　＝ｘ＋Ａ
　（ｘ∈Ｒ）
となる。

従って、
　Ｒ’＝｛ｘ＋Ａ｜ｘ∈Ｒ｝
と書ける。

群のところでも調べたように、このとき加法も乗法もＲの結合法則がそのままＲ’に遺伝されて（Ｒ’，・）は単位的半群、（Ｒ’，＋）は群である。さらに交換法則も遺伝されて（Ｒ’，＋）は加法群となる：
　[ａ]＋[ｂ]＝[ａ＋ｂ]
　　　　　＝[ｂ＋ａ]
　　　　　＝[ｂ]＋[ａ]
加えて、加法に対する乗法の（両側）分配法則：
　[ａ]（[ｂ]＋[ｃ]）＝[ａ][ｂ＋ｃ]
　　　　　　　　　＝[ａ（ｂ＋ｃ）]
　　　　　　　　　＝[ａｂ＋ａｃ]
　　　　　　　　　＝[ａｂ]＋[ａｃ]
　　　　　　　　　＝[ａ][ｂ]＋[ａ][ｃ]
　（[ｂ]＋[ｃ]）[ａ]＝[ｂ＋ｃ][ａ]
　　　　　　　　　＝[（ｂ＋ｃ）ａ]
　　　　　　　　　＝[ｂａ＋ｃａ]
　　　　　　　　　＝[ｂａ]＋[ｃａ]
　　　　　　　　　＝[ｂ][ａ]＋[ｃ][ａ]
も成り立つ。従ってＲ’は環を成す。

Ｒ’＝Ｒ／～のことをＲ／Ａと書き、これはＲのＡによる剰余環，または商環（quotient ring）と呼ばれる。

３．剰余加群

左Ｒ加群Ｍの合同関係～から、商集合Ｍ’（＝Ｍ／～）上にもそれぞれの演算が同時に引き起こされる：
　・加法：Ｍ’×Ｍ’→Ｍ’
　　[ｘ]＋[ｙ]＝[ｘ＋ｙ]　
　・単位元：｛＊｝→Ｍ’
　　０＝[０]　
　・逆元：Ｍ’→Ｍ’
　　－[ｘ]＝[－ｘ]
　・ａ∈Ｒの左作用：Ｍ’→Ｍ’
　　ａ[ｘ]＝[ａｘ]

そして合同関係～に対応するＭの部分加群をＮとすると、Ｎの定義から
　Ｎ＝[０]
である。

一般の同値類は
　[ｘ]＝｛ｍ∈Ｍ｜ｍ～ｘ｝
　　　＝｛ｍ∈Ｍ｜ｍ－ｘ～０｝
　　　＝｛ｍ∈Ｍ｜ｍ－ｘ∈Ｎ｝
　　　＝｛ｍ∈Ｍ｜ｍ∈ｘ＋Ｎ｝
　　　＝ｘ＋Ｎ
　（ｘ∈Ｍ）
となる。

従って、
　Ｍ’＝｛ｘ＋Ｎ｜ｘ∈Ｍ｝
と書ける。

群のところでも調べたように、このとき加法はＭの結合法則がそのままＭ’に遺伝される。よって（Ｍ’，＋）が加法群となり、さらにＭ’はＲの左作用は
　（ａｂ）[ｘ]＝[（ａｂ）ｘ]
　　　　　　　＝[ａ（ｂｘ）]
　　　　　　　＝ａ[ｂｘ]
　　　　　　　＝ａ（ｂ[ｘ]）
　１[ｘ]＝[１ｘ]
　　　　＝[ｘ]
　ａ（[ｘ]＋[ｙ]）＝ａ[ｘ＋ｙ]
　　　　　　　　＝[ａ（ｘ＋ｙ）]
　　　　　　　　＝[ａｘ＋ａｙ]
　　　　　　　　＝[ａｘ]＋[ａｙ]
　　　　　　　　＝ａ[ｘ]＋ａ[ｙ]
の３つの公理を満たす。従ってＭ’はＲ加群を成す。

Ｍ’＝Ｍ／～のことをＭ／Ｎと書き、これはＭのＮによる剰余加群，または商加群（quotient module）と呼ばれる。

なお、右Ｒ加群、両側(Ｌ，Ｒ)加群の場合も剰余加群となることは同様である。

４．まとめ

商集合によって引き起こされる演算には、単位元の存在、逆元の存在、結合法則、交換法則、左および右作用が遺伝される。

特に、群、環、Ｒ加群（Ｒは単位的半群）の場合、合同関係によって商集合上に引き起こされた演算で再び、群、環、Ｒ加群となることを確認した。