同値関係と両立する写像（７）

前回の『同値関係と両立する写像（６）』では、合同関係を群の場合で調べた。群の任意の合同関係に対して正規部分群が１：１対応した。

今回は、合同関係を環の場合で考えてみよう。すると環におけるイデアルのが１：１に対応する。

１．環の定義

集合Ｒに加法（＋）、乗法（×）の２つの２項演算が付与されていて、（Ｒ，＋）について可換群、（Ｒ，×）について単位的半群、そして加法と乗法の間には次の（両側）分配法則を公理に付け加える：
　ａ×（ｂ＋ｃ）＝ａ×ｂ＋ａ×ｃ，　（ｂ＋ｃ）×ａ＝ｂ×ａ＋ｃ×ａ
　（ａ，ｂ，ｃは環Ｒの任意の元）
このとき、（Ｒ，＋，×）を環という。文脈上必要なければ、単にＲと書いてこれを環と呼ぶこともある。

また、加法の単位元を０、乗法の単位元を１で表す。特に加法に関する可換群のことを加法群と呼ぶ。

乗法×については、
　ａ×ｂ＝ａｂ　（ａ，ｂ∈Ｒ）
と×を省略することがある。

環の公理に、乗法についてはその可換性：
　ａｂ＝ｂａ　（ａ，ｂ∈Ｒ）
を課さないことに注意しよう。これを課した場合は特に可換環と言われる。今回の議論では可換性はいらないが、あっても成り立つ。

環の公理から、
　ａ０＝ａ（０＋０）＝ａ０＋ａ０
より、ａ０の加法に関する逆元－ａ０を両辺に加えれば
　ａ０＝０　（ａ∈Ｒ）
を得る。ａと０の積の順序を入れ替えて同様にすれば、
　０ａ＝０　（ａ∈Ｒ）
を得る。

なお、１点集合｛０｝も自明な加法・乗法によって上記の公理をすべて満足するから環となる。これを零環と呼ぶ。このことは０＝１であることと同値になる訳だが、このような環でも今回の議論では特に問題ない。

さて、環Ｒを一般のｎ項演算（ｎ≧０）を使った代数系として再表示しよう。環Ｒに付随する演算は
　・２項演算である加法（＋）、乗法（×）
　・１項演算である加法逆元（－）
　・０項演算である加法および乗法の単位元の存在（０，１）
をもつ。従って、環Ｒはその付随する演算をすべて付け加えた代数系
　（Ｒ，＋，×，－，０，１）
となる。

従って、環Ｒの合同関係とは、これらすべての演算と両立するようなＲの同値関係のことである。

Ｒの部分集合ＡがＲのこれらの演算に関して閉じているとき、ＡはＲの部分環といわれる。実質的には、Ａ⊂Ｒが部分環であるとは、
　・(Ａ，＋)についてＲの部分加法群
　・(Ａ，×)についてＲの部分単位的半群
であることが必要十分である。

Ｒの元ａを固定したとき、左からａを乗じる写像
　Ｒ→Ｒ
　ｘ↦ａｘ
が定まる。これを左ａ倍写像ということにする。一般にＲの部分集合Ａについて、Ａの元ａを左ａ倍写像：Ｒ→Ｒに対応させる：
　ａ↦左ａ倍写像
とき、その対応のことをＡのＲへの自然な左作用という。ＡのＲへの自然な右作用も同様に定義される。Ｒが可換環のときは自然な左作用と自然な右作用は一致するから、左・右の区別はなく、このときは単にＡのＲへの自然な作用という。

ＡのＲへの自然な左作用は、各ａ∈Ａについての１項演算とも見れる：
　Ｒ→Ｒ
　ｘ↦ａｘ
従って、Ｒの部分集合ＢがＡのＲへの自然な左作用で閉じているというのは、各ａ∈Ａについて上の１項演算について閉じていることを意味する。右作用についても同様である。特に左作用と右作用について閉じているとき、両側作用で閉じているという。

２．合同関係からイデアル

環（Ｒ，＋，×，－，０，１）に合同関係～が与えられているとする。

同値関係～が加法と両立するとは、
　ａ～ａ’，ｂ～ｂ’　⇒　ａ＋ｂ～ａ’＋ｂ’
　（ａ，ａ’，ｂ，ｂ’∈Ｒ）
である。このとき、
　ａ～ａ’　⇔　ａ－ａ’～０
　（ａ，ａ’∈Ｒ）
を満たす。

同値関係～が乗法と両立するとは、
　ａ～ａ’，ｂ～ｂ’　⇒　ａｂ～ａ’ｂ’
　（ａ，ａ’，ｂ，ｂ’∈Ｒ）
である。このとき、
　ｘ∈Ｒ，ａ～０　⇒　ｘａ～０，ａｘ～０
　（ｘ，ａ∈Ｒ）

そこで、加法群（Ｒ，＋）に関して０の同値類を
　Ａ＝｛ａ｜ａはＲの元で、ａ～０を満たす｝
とおくとき、上のことから、
・～が加法と両立する　
　⇒　（ⅰ）（Ａ，＋）はＲの部分加法群である
・～が乗法と両立する
　⇒　（ⅱ）（Ａ，・）はＲの自然な両側作用で閉じている
ということがわかった。

この（ⅰ），（ⅱ）の条件を満たすＲの部分集合ＡのことをＲのイデアル（ideal）という。

また、このとき
　ａ～ａ’　⇔　ａ－ａ’∈Ａ
が成り立つ。

３．イデアルから合同関係

Ｒの空でない部分集合Ａ≠Φを取る。

　ａ～ａ’　⇔　ａ－ａ’∈Ａ
　（ａ，ａ’∈Ｒ）
によって関係～を定義する。

（Ａ，＋）をＲの部分加法群（条件（ⅰ））とすると、これは同値関係となる。このとき、０∈Ａであるから
　Ａ＝｛ａ∈Ｒ｜ａ～０｝
であることに注意しよう。

また、このとき
　ａ～ａ’，ｂ～ｂ’　⇒　　ａ＋ｂ－（ａ’＋ｂ’）
　　　　　　　　　　　＝（ａ－ａ’）＋（ｂ－ｂ’）∈Ａ
　　　　　　　　　⇒　ａ＋ｂ－（ａ’＋ｂ’）～０
　　　　　　　　　⇒　ａ＋ｂ～ａ’＋ｂ’
となるから、同値関係～は加法と両立する。

（Ａ，＋）がＲの部分加法群（条件（ⅰ））でさらに（Ａ，・）はＲの自然な両側作用で閉じている（条件（ⅱ））とすると、
　ａ～ａ’，ｂ～ｂ’　⇒　ａｂ－ａ’ｂ’
　　　　　　　　　　　＝ａｂ－ａｂ’＋ａｂ’－ａ’ｂ’
　　　　　　　　　　　＝ａ（ｂ－ｂ’）＋（ａ－ａ’）ｂ’∈Ａ
　　　　　　　　　⇒　ａｂ－ａ’ｂ’～０
　　　　　　　　　⇒　ａｂ～ａ’ｂ’
となるから、同値関係～は乗法とも両立する。

まとめると、
・（ⅰ）（Ａ，＋）はＲの部分加法群である
　⇒　～は加法と両立する
・（ⅰ）（Ａ，＋）はＲの部分加法群で、
　（ⅱ）（Ａ，・）はＲの自然な両側作用で閉じている
　⇒　～は乗法と両立する
ということがわかった。

（Ｒ，＋，－，０）は加法群だから同値関係が加法と両立するとき、その同値関係は加法群（Ｒ，＋，－，０）の合同関係である。

一方（Ｒ，×，１）は単位的半群であるが、乗法に関する単位元１の存在が定める０項演算は、常に任意の同値関係と両立し、ゆえに乗法と両立する同値関係は単位的半群（Ｒ，×，１）の合同関係である。

よってＲの部分集合Ａがイデアルであるとき、上で定める同値関係～は、環（Ｒ，＋，－，×，０，１）の合同関係である。

また、このとき
　Ａ＝｛ａ∈Ｒ｜ａ～０｝
であった。

４．１：１対応

こうして、環Ｒについて
　　　｛Ｒの合同関係｝↔｛Ｒのイデアル｝
　　　　　　　～　　　↔　　　Ａ
と１：１の対応がつく。

こうして環のイデアルは、環の上の合同関係によって特徴づけられるし、逆も同様である。

５．まとめ

今回は環を例に合同関係について調べた。環の合同関係は自然にイデアルを引き起こし、イデアルによって特徴づけられることをみた。