合成数判定と素数判定①（導入：合成数１桁〜３桁で、互いに素な２つの数の積で表される場合）

合成数判定、素数判定では、古今、様々な方法論が考えられ提示されて来たと思いますが、自分なりに初等的な方法を考えてみましたので、これから紹介させていただきます☺️

（１）6についての判定

$${x +y=k }$$…① （kは定数）
$${y=6/x }$$…② （xは0ではない）とおく。

②を①に代入すると、$${x +6/x=k}$$

変形して、$${x^2 -kx +6=0}$$

２次方程式の解の公式から解xを求めると

$${x=k±\sqrt{k^2-4×6}/2}$$

$${x=5±\sqrt{25-24}/2 }$$…③

24に近い平方数は25。③の$${k^2}$$に代入すると√の中身は$${\sqrt{1}=1}$$になり、xは自然数解を持つ様になる。

解×は、3、2と求まり、②とあわせて6=2×3となります。

（２）２１についての判定

同様な操作を行いますので、簡略化して式だけ書きます。

$${x +y=k}$$
$${y=21/x}$$

$${x +21/x=k}$$

$${x^2 -kx +21=0}$$

$${x＝k±\sqrt{k^2-4×21}/2}$$

$${x＝10±\sqrt{100-84}/2}$$

84に近い平方数は100。③の$${k^2}$$に代入すると√の中身は$${\sqrt{16}=4}$$になり、xは自然数解を持つ様になる。

$${x=（10 +4）/2＝7}$$
$${x=（10-4）/2＝3}$$

②とあわせて21=3×7となります。

（３）４０３についての判定

$${x +y=k}$$
$${y=403/x}$$

$${x +403/x=k}$$

$${x^2 -kx +403=0}$$

$${x=k±\sqrt{k^2-4×403}/2}$$

$${x=44±\sqrt{1936-1612}/2}$$

$${40×40=1600}$$から$${k^2}$$の当たりをつけます。
44×44=1936を③の$${k^2}$$に代入すると√の中身は$${\sqrt{324}=18}$$になり、xは自然数解を持つ様になる。

41×41＝1681、1681-1612＝69
42×42＝1764、1764-1612＝152
43×43＝1849、1849-1612＝237
44×44＝1936、1936-1612＝324＝18×18

$${x=（44+18）/2=31}$$
$${x=（44-18）/2=13}$$

②とあわせて403=13×31となります。

初回は以上となります。
スマホでの手計算でしたが、３桁の合成数判定はとりあえず行けそうです。
次回、次の段階に挑戦します(*´-`)✨