蜂の巣はなぜ六角形なのか？(自然と三平方の定理)

　数学的に自然を眺めてみよう。２つ例を挙げてみる。

(1) 🐝蜂の巣の正六角形

　自然の中には数学的に説明できることがある。蜂の巣の形もそのひとつ。ヘッダーのブロックの写真の様に、蜂の巣の形は正六角形で成り立っている。
　ところで、まわりの長さが同じ図形ならば、最も面積が大きくなるのは、「円」である。

円を並べると隙間が生じる

　しかし、円を重ねて描くと、円と円との間に隙間が生じてしまう(✨)。
　隙間なく埋めることのできる図形には、正三角形、正方形、正六角形があることが知られている。

正三角形・正方形・正六角形

　例えば、まわりの長さが24cmならば、正三角形の一辺の長さは8cm、正方形ならば一辺の長さは6cm、正六角形ならば一辺の長さは4cmになる。
　このとき、計算は省略するが、結論を言うと、正六角形の面積がこの３つの図形 ( 周囲の長さが等しい多角形 ) のなかで最大となる。
　中学生で学ぶ三平方の定理を使えば、比較的容易に計算できる。
　蜂の巣の正六角形は、空間の有効活用から生まれたものかもしれない。

(2) 最短距離で行き来するには？

　次のような正方形ABCDがある。

図１

　この内部に道路をつくって、どの点からも、すべての点に移動できるようにするには、どのように道路をつくればよいだろうか？
　すぐに思いつくのは、次のような対角線を引くことだろう。

図２

　今、黄色で引いたものは対角線だが、もっと距離を短くすることが可能である。証明はしないが、次のような赤い線が「最小の距離」になる(A,B,C,Dのそれぞれから伸びる線分は、それぞれの頂点の直角を「30度・60度に分ける」ものになっている。)。

図３

　赤い線分 ( 日常用語で言えば直線 ) が全部で５本あるが、これはさきほどの２本の黄色の対角線の「和」の長さよりも短くなっている。これも中学生で習う「三平方の定理」で計算できる。

　数学的に「赤い線分」を求めるためには、正方形の対称性に着眼し、高校生レベルの微分の知識を用いる。

　数学を用いずに求めるには、板に垂直になるように等間隔に棒を４本立てて、せっけんの泡の膜を張る。そうすると、図３のような形状のせっけんの膜ができる。

　自然を知るには、自然を観察することが必要だが、「面積が最大になるもの」や「距離が最小になるもの」を見つけるには、数学で予想を立てる。そうすると、うまく説明できる場合が多い。