２乗したらゼロになる数を考える。

目次
序論　数について。
[1]平方根の近似値を求める。
[2]dy/dxを求める。

序論　数について。

　普段、使っている数字のように、一本の「数直線」上に表せる数を「実数」という。
　正の整数はもちろんのこと、負の数も、小数も、円周率πのような無理数も、すべて実数である。
　２乗したら、－１になるような虚数単位 i や複素数は、「普通」の数直線上には表すことができないから、「実数」ではない。
　日常の感覚とズレているものは、なかなか受け入れにくいのであるが、虚数なしでは「電気」は語ることができない。

　虚数ついて、記事にすれば面白そうだ。しかし、今回の記事は「２乗したら０になる数」について書いてみたい。実数や虚数以外にも、定義次第で、新しい数を作ることができる。

たとえばこんな数を考えてみる。

２乗したら、「ゼロ」になってしまうような「とても小さな数」を

ΔA

としてみる。具体的に「いくつ」とは言わないが、「0.1」とか「0.01」のような数を思い浮かべてみてほしい。

たとえば、0.1を２乗した数は
0.1×0.1＝0.01になるが、

「0.01＝０」と考えてみる。

[1]平方根の近似値を求める。

これを使って、平方根の計算をしてみよう。ルート２はすでに
1.41421356・・・という無理数になることが知られているが。

ここで、もとの式にΔA=－１/12を代入して計算すると

√２の値は17/12となる。

(17/12)×(17/12)=２+(1/144)。

17÷12=1.416・・・であり、
1.41421356...にかなり近い。
同様の計算を繰り返せば、精度の高い２の平方根の値を得ることができる。

立方根や四乗根も､同様の手続きで求めることができる。

[2] dy/dxを求める。

円の方程式について、微分することを考えてみる。

左辺を展開すると

dy/dx = －x/y　になることがわかった。

これは①上の点( a, b )における接線が、

－a/bになることを示している。

グラフにすると以下のような具合になる。

青の直線は、原点を通る比例のグラフだから、傾きは

b/a   ・・・②

黄色の直線は(a,b)における接線で
傾きは

－a/b　・・・③

②、③の傾きを掛けると

b/a × (－a/b) ＝－１

青い直線と黄色の直線が、直角に交わることもわかった。