Zero-sum equalityと企業価値評価モデル(2)
結論から示せば、今回議論する4つのモデルの位置付けは、下記図の黄色ハイライトに相当する。
今回は、前回に続きZero-sum equalityから導かれる種々のモデル、特にAEGに時系列的仮定やCSRを導入したモデルについて議論する。前回はこちら。
Ohlson and Juettner-Nauroth[2005]モデル
AEGモデル式は、2期先以降の将来異常利益成長$${\tilde {AEG}_{t+\tau}(\tau ≥2)}$$が毎期一定成長(成長率：$${g}$$)するときには、次のように表すことができる。
$${P_t = \dfrac{E_t[\tilde{x}_{t+1}]}{r}+\dfrac{r+1}{r}\displaystyle\sum_{\tau=2}^∞ \dfrac{E_t[\tilde{AEG}_{t+\tau}]}{(r-1)^{\tau}}}$$
$${=\dfrac{E_t[\tilde{x}_{t+1}]}{r}+\dfrac{r+1}{r}\cdot\dfrac{\dfrac{E_t[\tilde{AEG}_{t+2}]}{(r+1)^2}}{1-\dfrac{g+1}{r+1}}}$$
$${=\dfrac{E_t[\tilde{x}_{t+1}]}{r}+\dfrac{E_t[\tilde{AEG}_{t+2}]}{r(r-g)}}$$
上式はOhlson and Juettner-Nauroth[2005]モデル(OJモデル)と呼ばれる。将来異常利益成長が毎期一定成長という仮定と同じ意味で、異常利益成長が次式のような時系列に従うと仮定することも多い。
$${\tilde{AEG}_{t+\tau+1}=\gamma AEG_{t+\tau}+\tilde{\varepsilon}_{t+\tau+1}}$$
但し$${\tau ≥2}$$、$${0<\gamma < r+1}$$、$${\tilde{\varepsilon}_{t+\tau+1}}$$は期待値ゼロの確率変数である。この時$${E_t[\tilde{AEG}_{t+\tau +2}]=\gamma^\tau E_t[\tilde{AEG}_{t+2}]}$$が成り立つ$${(\tau ≥ 1)}$$。なお、$${\gamma}$$は$${1+g}$$に対応する。$${E_t[AEG_{t+2}]}$$は期待利益成長率
$${g_x\equiv E_t \Bigg[\dfrac{\tilde{x}_{t+2}-(\tilde{x}_{t+1}-r\tilde{d}_{t+1})}{\tilde{x}_{t+1}}\Bigg]}$$
を用いると、
$${E_t[AEG_{t+2}]=E_t[\tilde x_{t+2}-\{(r+1)(\tilde x_{t+1}-\tilde d_{t+1})+\tilde d_{t+1}\}]}$$
$${=(g_x -r)E_t[\tilde x_{t+1}]}$$
この関係を用いるとOJモデルは次のように表すことができる。
$${P_t=\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}]}{r}+\dfrac{E_t[\tilde{AEG}_{t+2}]}{r(r-g)}}$$
$${=\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}]}{r}+\dfrac{(g_x -r)E_t[\tilde x_{t+1}]}{r(r-g)}}$$
$${=\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}]}{r}\cdot \dfrac{g_x-g}{r-g}=\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}]}{r}\cdot \dfrac{g_x-(\gamma - 1)}{r-(\gamma - 1)}}$$
残余利益成長(GRI)モデル
AEGモデルとその派生モデルと解釈できるPEGモデル/OJモデルではCSRを仮定してこなかったが、CSRを仮定すると、$${\tilde {AEG}_{t+\tau +1}}$$は残余利益の変化(残余利益成長) $${\Delta \tilde x_{t+\tau +1}^a}$$に一致する。
$${\tilde {AEG}_{t+\tau+1}=\tilde x_{t+\tau+1}+r\tilde d_{t+\tau}-(r+1)\tilde x_{t+\tau}}$$
$${=\tilde x_{t+\tau+1}+r(\tilde b_{t+\tau-1}+\tilde x_{t+\tau}-\tilde b_{t+\tau})-(r+1)\tilde x_{t+\tau}}$$
$${=\tilde x_{t+\tau+1}-r\tilde b_{t+\tau}-(\tilde x_{t+\tau}-r\tilde b_{t+\tau-1})}$$
$${=\tilde x_{t+\tau+1}^a-\tilde x_{t+\tau}^a\equiv \Delta\tilde x_{t+\tau+1}^a}$$
従ってCSRを仮定すると、AEGモデルは以下の残余利益成長モデル(Growth of Residual Income; GRIモデル)に変形できる。
$${P_t=\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}]}{r}+\dfrac{r+1}{r}\displaystyle\sum_{\tau=2}^{∞}\dfrac{E_t[\Delta\tilde x_{t+\tau}^a]}{(r+1)^{\tau}}}$$
$${P_t=b_t+\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}^a]}{r}+\dfrac{r+1}{r}\displaystyle\sum_{\tau=2}^{∞}\dfrac{E_t[\Delta\tilde x_{t+\tau}^a]}{(r+1)^{\tau}}}$$
第二式への変形から、資本化利益$${\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}]}{r}}$$は、次期以降の残余利益が一定と仮定している時の残余利益モデルによる株主価値に一致する。2期先以降の将来異常利益成長$${\tilde {AEG}_{t+\tau} (\tau≥2)}$$を一定としたPEGモデル、一定成長としたOJモデルにおいてCSRを仮定すると、株主価値を以下の2つの成分の和として評価したモデルと解釈できる。
次期以降の残余利益が一定と仮定した場合のRIMによる株主価値
2期以降の残余利益成長$${\Delta\tilde x_{t+\tau}^a (\tau ≥2)}$$の時系列的仮定による価値
株主価値を2つのパートに分けて求めた評価値を合計している点で、将来残余利益の一定成長を仮定したRIMよりもリッチな特徴を持つことになる。
Penman et al.[2018; FEM]モデル
Penman et al.[2018; FEM]は、株式の期待収益率とCSRの定義から以下の式を導出した。
$${r=E_t\Bigg[\dfrac{\tilde P_{t+1}+\tilde d_{t+1}-P_t}{P_t}\Bigg]}$$
$${=E_t\Bigg[\dfrac{\tilde x_{t+1}+(\tilde P_{t+1}-\tilde b_{t+1})-(P_{t}-b_{t})}{P_t}\Bigg]}$$
$${\Leftrightarrow P_t=\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}]}{r}+E_t\Bigg[\dfrac{(\tilde P_{t+1}-\tilde b_{t+1})-(P_{t}-b_{t})}{r}\Bigg]}$$
ここで、$${P_t-b_t}$$を$${t}$$期におけるプレミアムと呼ぶ。上式をAEGモデル及びGRIモデルと比較すると、次式が成立する。
$${E_t\Bigg[\dfrac{(\tilde P_{t+1}-\tilde b_{t+1})-(P_{t}-b_{t})}{r}\Bigg]=\dfrac{r+1}{r}\displaystyle\sum_{\tau =2}^{∞}\dfrac{E_t[\tilde{AEG}_{t+\tau}]}{(r+1)^{\tau}}}$$
$${=\dfrac{r+1}{r}\displaystyle\sum_{\tau =2}^{∞}\dfrac{E_t[\Delta\tilde{x}_{t+\tau}^a]}{(r+1)^{\tau}}}$$
Penman et al.[2018; FEM]では、「$${t+1}$$期の(期待利益の低下に伴う)プレミアムの増加は、$${t+2}$$期以降の期待利益成長率の高さを反映している」といった説明をしている。これは、Penman et al.[2018; FEM]モデルの第一項のみから評価される株式価値に比して株価が上昇している(プレミアムが付与されている)状況下において、上式左辺の「$${t+1}$$期のプレミアムの増加」(つまり$${(\tilde P_{t+1}-\tilde b_{t+1})-(P_t-b_t)}$$が大きいこと)は、右辺の「$${t+2}$$期以降の期待利益成長率の高さ」(つまり$${AEG_{t+\tau}(\tau ≥2)}$$の成長率が高いこと)と同じことからも説明可能である。
OJモデル+CSR/Lai[2015; RAST]モデル
OJモデルにCSRを仮定すると、次式を導ける。
$${P_t=\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}]}{r}+\dfrac{E_t[\tilde {AEG}_{t+2}]}{r(r-g)}}$$
$${=b_t+\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}^a]}{r}+\dfrac{E_t[\Delta\tilde {x}_{t+2}^a]}{r(r-g)}}$$
OJモデルでは異常利益成長が次式のような時系列に従うと仮定されていた。
$${\tilde{AEG}_{t+\tau+1}=\gamma AEG_{t+\tau}+\tilde{\varepsilon}_{t+\tau+1}}$$
但し$${\tau ≥2}$$、$${\gamma \in (0, r+1)}$$は定数、$${\tilde {\varepsilon}_{t+\tau+1}}$$は期待値ゼロの確率変数である。この式にCSRを仮定すると、以下の漸化式に関する関係から次のような時系列関係を導ける。
$${\tilde x_{t+\tau+1}^a=\Bigg(\dfrac{\tilde x_{t+2}^a}{\tilde x_{t+1}^a}-\gamma\Bigg)\tilde x_{t+1}^a+\gamma \tilde x_{t+\tau}^a+\tilde {\epsilon}_{t+\tau+1}^a}$$
ここで、$${\gamma_h \equiv \dfrac{\tilde x_{t+2}^a}{\tilde x_{t+1}^a}, \alpha \equiv (\gamma_h - \gamma)\tilde x_{t+1}^a, \tilde \epsilon_{t+3}\equiv \varepsilon_{t+3}, \tilde \epsilon_{t+3+\tau}=\tilde \varepsilon_{t+3+\tau}+\tilde \epsilon_{t+2+\tau}}$$とすると、$${\gamma_h}$$は「残余利益の」短期成長率、$${\gamma}$$は「残余利益成長の」長期成長率と解釈できる。また、$${g_h\equiv \gamma_h -1, g \equiv \gamma - 1}$$と定義すると、$${g_h-g=\gamma_h-\gamma, g_h=\dfrac{\Delta \tilde x_{t+2}^a}{\tilde x_{t+1}^a}}$$も成立する。
補足：漸化式に関する関係
$${\begin{cases} b_{t+\tau+1}=a_{t+\tau+1}-a_{t+\tau}\\ b_{t+\tau+1}=\gamma b_{t+\tau} \\ \end{cases}}$$、但し$${\tau ≥2, \gamma}$$は定数とする時、
$${a_{t+\tau+1}-a_{t+\tau}=\gamma (a_{t+\tau}-a_{t+\tau-1})\Leftrightarrow a_{t+\tau+1}=\bigg(\dfrac{a_{t+\tau}}{a_{t+\tau-1}}-\gamma\bigg)a_{t+\tau-1}+\gamma a_{t+\tau}}$$となるが、この式は更に$${\bigg(\dfrac{a_{t+\tau+1}}{a_{t+\tau}}-\gamma\bigg)a_{t+\tau}=\bigg(\dfrac{a_{t+\tau}}{a_{t+\tau-1}}-\gamma\bigg)a_{t+\tau-1}}$$と変形でき、これは$${\tau}$$に依らない定数と見なせるため、$${\bigg(\dfrac{a_{t+\tau}}{a_{t+\tau-1}}-\gamma\bigg)a_{t+\tau-1}=\cdots=\bigg(\dfrac{a_{1}}{a_{0}}-\gamma\bigg)a_{0}\equiv k}$$と置き、$${a_{t+\tau+1}=k+\gamma a_{t+\tau}}$$と表現できる。
OJ+CRS式：$${P_t=b_t+\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}^a]}{r}+\dfrac{E_t[\Delta\tilde {x}_{t+2}^a]}{r(r-g)}}$$に基づくと、
$${P_t=b_t+\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}^a]}{r}+\dfrac{E_t[\Delta\tilde x_{t+2}^a]}{r(r-g)}}$$
$${=b_t+\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}^a](r-g)}{r(r-g)}+\dfrac{E_t[\Delta\tilde x_{t+2}^a]}{r(r-g)}}$$
$${=b_t+\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}^a]}{r-g}-\dfrac{gE_t[\tilde x_{t+1}^a]}{r(r-g)}+\dfrac{E_t[\Delta\tilde x_{t+2}^a]}{r(r-g)}}$$
$${=b_t+\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}^a]}{r-g}-\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}^a]}{r(r-g)}E_t\bigg[\dfrac{\Delta \tilde x_{t+2}^a}{\tilde x_{t+1}^a}-g\bigg]}$$
$${=b_t+\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}^a]}{r-g}\bigg(1+\dfrac{g_h-g}{r}\bigg)=b_t+\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}^a]}{(r+1)-\gamma}\bigg(1+\dfrac{\gamma_h-\gamma}{r}\bigg)}$$
を得る(Lai, 2015; RAST)。短期の「残余利益の」成長率$${\gamma_h}$$と長期の「残余利益成長の」成長率$${\gamma}$$が等しい時、$${\dfrac{\gamma_h-\gamma}{r}=0}$$となり、将来残余利益が一定成長の場合の残余利益モデルに一致する。OJモデル+CSR/Lai[2015; RAST]モデルは短期と長期の成長率を区別できるため、一定成長の残余利益モデルを含んでいると言える。実証上両者を比較した場合、OJモデル+CSR/Lai[2015; RAST]モデルの方が優位になるはずである。
まとめ
前回と今回の議論をまとめよう。まず、$${y_t}$$が確率変数かつ時間$${t}$$が進むにつれて情報が増大していく時、次のZero-sum equalityが成り立つ。
Zero-sum equality
$${y_t+\displaystyle\sum\limits_{τ=1}^∞\dfrac{E_t [\tilde y_{t+\tau}-(1+r)\tilde y_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau}}=0}$$
Zero-sum equalityの変数として株主資本簿価$${b_t}$$を代入し、DDMに加えることで、次のABGモデルが導出された。
異常簿価成長モデル(Abnormal Book Growth Model; ABGモデル)
$${P_t=b_t+\displaystyle\sum\limits_{\tau=1}^∞ \dfrac{E_t[\tilde b_{t+\tau}+\tilde d_{t+\tau}-(1+r)\tilde b_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau}}}$$
ABGモデルにCSRを仮定することで、RIMモデルが導出された。
残余利益モデル(Residual Income Model; RIMモデル)
$${P_t=b_t+\displaystyle\sum\limits_{\tau=1}^∞ \dfrac{E_t[\tilde x_{t+\tau}-r\tilde b_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau}}}$$
Zero-sum equalityの変数として資本化利益$${\dfrac{E_t [\tilde x_{t+1}]}{r}}$$を代入し、DDMに加えることで、次のAEGモデルが導出された。
異常利益成長モデル(Abnormal Earnings Growth Model; AEGモデル)
$${P_t=\dfrac{E_t [\tilde x_{t+1}]}{r}+\dfrac{1+r}{r}\displaystyle\sum\limits_{τ=2}^∞\dfrac{E_t[\tilde x_{t+\tau}+r\tilde d_{t+\tau-1}-(1+r)\tilde x_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau}}}$$
AEGモデルにおいて、2期先以降の将来異常利益成長$${\tilde {AEG}_{t+τ}, (τ≥2)}$$が一定のときには、次のPEGモデルが導出された。
PEGモデル(Price Earnings Growth Model)
$${P_t=\dfrac{E_t [\tilde{x}_{t+1}]}{r}\cdot\dfrac{g_x}{r}}$$
AEGモデルにおいて、2期先以降の将来異常利益成長$${\tilde {AEG}_{t+\tau}(\tau ≥2)}$$が毎期一定成長するときには、次のOhlson and Juettner-Nauroth[2005]モデルが導出された。
Ohlson and Juettner-Nauroth[2005]モデル(OJモデル)
$${P_t=\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}]}{r}\cdot \dfrac{g_x-(\gamma - 1)}{r-(\gamma - 1)}}$$
AEGモデルにCSRを仮定することで、GRIモデルが導出された。
残余利益成長モデル(Growth of Residual Income; GRIモデル)
$${P_t=b_t+\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}^a]}{r}+\dfrac{r+1}{r}\displaystyle\sum_{\tau=2}^{∞}\dfrac{E_t[\Delta\tilde x_{t+\tau}^a]}{(r+1)^{\tau}}}$$
Penman et al.[2018; FEM]は、残余利益成長の大きさが、株価プレミアムの増加を反映していることを導いた。
Penman et al.[2018; FEM]モデル
$${E_t\Bigg[\dfrac{(\tilde P_{t+1}-\tilde b_{t+1})-(P_{t}-b_{t})}{r}\Bigg]=\dfrac{r+1}{r}\displaystyle\sum_{\tau =2}^{∞}\dfrac{E_t[\Delta\tilde{x}_{t+\tau}^a]}{(r+1)^{\tau}}}$$
OJモデルにCSRを仮定することで、次のOJモデル+CSR/Lai[2015; RAST]モデルが導出された。
OJモデル+CSR/Lai[2015; RAST]モデル
$${P_t=b_t+\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}^a]}{(r+1)-\gamma}\bigg(1+\dfrac{\gamma_h-\gamma}{r}\bigg)}$$
次回は、これらの株式価値評価モデルとバリュエーション指標(Valuation ratio；評価倍率)との関係について議論する。