Zero-sum equalityと企業価値評価モデル(1)

前回までは、残余利益モデル(RIM)をベースにしたOhlson[1995]モデルとその種々の発展モデルに関する議論を重ねてきた。今回は、RIMで前提とされてきたクリーン・サープラス関係(CSR)を必ずしも仮定しない形での種々の株式価値評価モデルを取り扱う。前回はこちら。

Zero-sum equality

$${y_t}$$が確率変数である時、すなわち$${\{y_t \}_{t=0}^∞}$$が確率過程である時、かつ時間$${t}$$が進むにつれて情報が増大していく時、繰り返し期待値の法則を用いて次式が成立する。なお、$${T→∞}$$の時、$${E_t \bigg[\dfrac{\tilde y _T}{(1+r)^T}\bigg]→0}$$を仮定する。

$${y_t+\displaystyle\sum\limits_{τ=1}^∞\dfrac{E_t [\tilde y_{t+\tau}-(1+r)\tilde y_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau}}}$$

$${=y_t+\dfrac{E_t[\tilde y_{t+1}-(1+r)y_t ]}{1+r}+\dfrac{E_t[\tilde y_{t+2}-(1+r)\tilde y_{t+1}]}{(1+r)^2}+\cdots}$$

$${+\dfrac{E_t[\tilde y_{t+\tau}-(1+r)y_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau}}+\dfrac{E_t[\tilde y_{t+\tau+1}-(1+r)\tilde y_{t+\tau}]}{(1+r)^{\tau+1}}+\cdots}$$

$${=0}$$

上式はZero-sum equality(またはゼロサム均等式)と呼ばれている。以下では、このZero-sum equalityを用いて種々の株式価値評価モデルを導出する。

異常簿価成長モデル(Abnormal Book Growth Model; ABGモデル)

上式において、$${y_t=b_t}$$とすると、$${T→∞}$$の時、$${E_t\bigg[\dfrac{\tilde b_T}{(1+r)^T}\bigg]→0}$$を仮定し、配当割引モデル(DDM)に辺々加えれば、次式が成立する。

$${P_t=\displaystyle\sum\limits_{\tau=1}^∞ \dfrac{E_t[\tilde d_{t+\tau}]}{(1+r)^{\tau}}+b_t+\displaystyle\sum\limits_{τ=1}^∞\dfrac{E_t [\tilde b_{t+\tau}-(1+r)\tilde b_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau}}}$$

$${=b_t+\displaystyle\sum\limits_{\tau=1}^∞ \dfrac{E_t[\tilde b_{t+\tau}+\tilde d_{t+\tau}-(1+r)\tilde b_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau}}}$$

上式を異常簿価成長モデル(Abnormal Book Growth Model; ABGモデル)という。$${\tilde b_{t+\tau}+\tilde d_{t+τ}}$$は$${t+τ}$$期の配当支払前の資本、$${(1+r)\tilde b_{t+\tau-1}}$$は$${t+\tau-1}$$期の資本が割引率$${1+r}$$で成長した場合の$${t+\tau}$$期の資本と解釈できるため$${\tilde b_{t+\tau}+\tilde d_{t+τ}-(1+r)\tilde b_{t+\tau-1}}$$を異常簿価成長と呼ぶ。なおクリーン・サープラス関係(CSR)を仮定すると異常簿価成長は残余利益に一致する。

異常利益成長モデル(Abnormal Earnings Growth Model; AEGモデル)

上式において$${y_t=\dfrac{E_t [\tilde x_{t+1}]}{r}}$$とすると、$${T→∞}$$の時、$${E_t\bigg[\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}]/r}{(1+r)^T}\bigg]→0}$$を仮定し、DDMに辺々加えれば、次式が成立する。

$${P_t=\displaystyle\sum\limits_{\tau=1}^∞ \dfrac{E_t[\tilde d_{t+\tau}]}{(1+r)^{\tau}}+\dfrac{E_t [\tilde x_{t+1}]}{r}+\displaystyle\sum\limits_{τ=1}^∞\dfrac{E_t \bigg[\dfrac{E_t [\tilde x_{t+\tau+1}]}{r}-(1+r)\dfrac{E_t [\tilde x_{t+\tau}]}{r}\bigg]}{(1+r)^{\tau}}}$$

$${=\displaystyle\sum\limits_{\tau=1}^∞ \dfrac{E_t[\tilde d_{t+\tau}]}{(1+r)^{\tau}}+\dfrac{E_t [\tilde x_{t+1}]}{r}+\dfrac{1}{r}\displaystyle\sum\limits_{τ=1}^∞\dfrac{E_t[\tilde x_{t+\tau+1}-(1+r)\tilde x_{t+\tau}]}{(1+r)^{\tau}}}$$

$${=\displaystyle\sum\limits_{\tau=2}^∞ \dfrac{E_t[\tilde d_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau-1}}+\dfrac{E_t [\tilde x_{t+1}]}{r}+\dfrac{1+r}{r}\displaystyle\sum\limits_{τ=2}^∞\dfrac{E_t[\tilde x_{t+\tau}-(1+r)\tilde x_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau}}}$$

$${=\dfrac{E_t [\tilde x_{t+1}]}{r}+\dfrac{1+r}{r}\displaystyle\sum\limits_{τ=2}^∞\dfrac{E_t[\tilde x_{t+\tau}+r\tilde d_{t+\tau-1}-(1+r)\tilde x_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau}}}$$

上式は異常利益成長モデル(Abnormal Earnings Growth Model; AEGモデル)と呼ばれる。異常利益成長$${\tilde{AEG}_{t+τ} \equiv \tilde x_{t+τ}+r\tilde d_{t+τ-1}-(1+r)\tilde x_{t+τ-1}=\tilde x_{t+τ}-\{(1+r)(\tilde x_{t+τ-1}-\tilde d_{t+τ-1})+\tilde d_{t+τ-1}\}}$$と定義すると、第一式では$${t+τ-1}$$期の利益$${\tilde x_{t+τ-1}}$$が割引率で成長した場合の$${(1+r)\tilde x_{t+τ-1}}$$が$${t+τ}$$期の正常利益と解釈している。一方、$${t+τ-1}$$期に配当$${\tilde d_{t+τ-1}}$$を支払わなければ、$${t+τ}$$期の利益として得られたであろう割引率相当額が$${r \tilde d_{t+τ-1}}$$であり、これを$${t+τ}$$期の利益に加えた額$${\tilde x_{t+τ}+r\tilde d_{t+τ-1}}$$と正常利益の差額が異常利益成長と解釈している。

第二式の解釈では「配当額に依らず、配当後利益を株主資本コストで運用した場合に期待される利益」を達成した場合の成長率がゼロとなるように異常利益成長が定義されている、と捉えられる。例えば、$${t}$$期において$${r=10\%}$$の負債のない企業A、Bが存在し、いずれも$${t+1}$$期の予想利益$${\tilde x_{t+1}=100}$$、Aは無配、Bは$${\tilde d_{t+1}=30}$$で配当すると予想されている。A、Bいずれも配当控除後の利益成長率が株主資本コスト$${10\%}$$と等しい場合、$${t+2}$$期の予想利益$${\tilde x_{t+2}}$$はA：110、B：77となるが、いずれの場合もModigliani and Miller [1961]の仮定に従い、$${\tilde{AEG}_{t+2}=0}$$とならなければならない。この2期間で株主が獲得した持ち分$${\tilde x_{t+2}+\tilde d_{t+1}=(1+r)(\tilde x_{t+1}-\tilde d_{t+1})+\tilde d_{t+1}}$$はA：110、B：107となり、これが異常利益成長の基準となる。つまり、永遠に配当控除後利益が株主資本コストと同じ率で成長する限り、異常利益成長の流列は常にゼロであり、企業価値に上乗せされない。従ってこの仮定の下では配当政策により企業価値が変わらないことが示される。

なおAEGモデルは、左辺を株価$${P_t}$$として両辺を$${E_t[\tilde x_{t+1}]}$$で割ると、予想PERの基準値$${=\dfrac{1}{r}}$$を与える式と解釈できる。しばしば表現される$${P_t=\text{Assets in place}+PVGO}$$において、Assets in place(現有資産)の価値を資本化利益$${\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}]}{r}}$$とすると、PVGO(Present Value of Growth Opportunity; 成長機会の現在価値)を具体的に表した式と解釈できる。

PEGモデル(Price Earnings Growth Model)

AEGモデルは、2期先以降の将来異常利益成長$${\tilde {AEG}_{t+τ},  (τ≥2)}$$が一定のときには、次のように表すことができる。

$${P_t=\dfrac{E_t [\tilde{x}_{t+1}]}{r}+\dfrac{1+r}{r}\displaystyle\sum\limits_{τ=2}^∞\dfrac{E_t[\tilde{AEG}_{t+\tau}]}{(1+r)^{\tau}}}$$

$${P_t=\dfrac{E_t [\tilde{x}_{t+1}]}{r}+\dfrac{1+r}{r}\cdot\dfrac{\dfrac{E_t[\tilde{AEG}_{t+2}]}{(1+r)^2}}{1-\dfrac{1}{1+r}}=\dfrac{E_t [\tilde{x}_{t+1}]}{r}+\dfrac{E_t [\tilde{AEG}_{t+2}]}{r^2}}$$

更に展開すると、

$${P_t=\dfrac{E_t [\tilde{x}_{t+1}]}{r}+\dfrac{E_t [\tilde{AEG}_{t+2}]}{r^2}}$$

$${=\dfrac{E_t [\tilde{x}_{t+1}]}{r}+\dfrac{E_t [\tilde x_{t+2}-\{(1+r)(\tilde x_{t+1}-\tilde d_{t+1})+\tilde d_{t+1}\}]}{r^2}}$$

$${=\dfrac{E_t [\tilde{x}_{t+1}]}{r}\Bigg[1+\dfrac{E_t\bigg[\dfrac{\tilde x_{t+2}-\{(1+r)(\tilde x_{t+1}-\tilde d_{t+1})+\tilde d_{t+1}\}}{\tilde x_{t+1}}\bigg]}{r}\Bigg]}$$

$${=\dfrac{E_t [\tilde{x}_{t+1}]}{r}\Bigg[1+\dfrac{E_t\bigg[\dfrac{\tilde x_{t+2}-(\tilde x_{t+1}-r\tilde d_{t+1})}{\tilde x_{t+1}}\bigg]}{r}\Bigg]}$$

$${=\dfrac{E_t [\tilde{x}_{t+1}]}{r}\cdot\dfrac{g_x}{r}}$$

但し$${g_x\equiv E_t\Bigg[\dfrac{\tilde x_{t+2}-(\tilde x_{t+1}-r\tilde d_{t+1})}{\tilde x_{t+1}}\Bigg]}$$とし、期待利益成長率と解釈する。予想利益に基づく株価収益率(Forward Price Earnings Ratio)を利益成長率で割った値$${\dfrac{P_t/E_t[x_{t+1}]}{g_x}}$$はPEGレシオと呼ばれ、株式投資実務でしばしば用いられる。上式において左辺を株価$${P_t}$$として両辺を$${E_t[\tilde x_{t+1}] g_x}$$で割ると、PEGレシオの基準値$${\dfrac{1}{r^2}}$$を与える式と解釈できる。また、同モデルは$${r=\sqrt{\dfrac{1}{PEG}}}$$として、インプライド株主資本コストの推定にも用いられている。

まとめ

ここまでの議論をまとめよう。まず、$${y_t}$$が確率変数かつ時間$${t}$$が進むにつれて情報が増大していく時、次のZero-sum equalityが成り立つ。

Zero-sum equality
$${y_t+\displaystyle\sum\limits_{τ=1}^∞\dfrac{E_t [\tilde y_{t+\tau}-(1+r)\tilde y_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau}}=0}$$

Zero-sum equalityの変数として株主資本簿価$${b_t}$$を代入し、DDMに加えることで、次のABGモデルが導出された。

異常簿価成長モデル(Abnormal Book Growth Model; ABGモデル)
$${P_t=b_t+\displaystyle\sum\limits_{\tau=1}^∞ \dfrac{E_t[\tilde b_{t+\tau}+\tilde d_{t+\tau}-(1+r)\tilde b_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau}}}$$

ABGモデルにCSRを仮定することで、RIMモデルが導出された。

残余利益モデル(Residual Income Model; RIMモデル)
$${P_t=b_t+\displaystyle\sum\limits_{\tau=1}^∞ \dfrac{E_t[\tilde x_{t+\tau}-r\tilde b_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau}}}$$

Zero-sum equalityの変数として資本化利益$${\dfrac{E_t [\tilde x_{t+1}]}{r}}$$を代入し、DDMに加えることで、次のAEGモデルが導出された。

異常利益成長モデル(Abnormal Earnings Growth Model; AEGモデル)
$${P_t=\dfrac{E_t [\tilde x_{t+1}]}{r}+\dfrac{1+r}{r}\displaystyle\sum\limits_{τ=2}^∞\dfrac{E_t[\tilde x_{t+\tau}+r\tilde d_{t+\tau-1}-(1+r)\tilde x_{t+\tau-1}]}{(1+r)^{\tau}}}$$

AEGモデルにおいて、2期先以降の将来異常利益成長$${\tilde {AEG}_{t+τ},  (τ≥2)}$$が一定のときには、次のPEGモデルが導出された。

PEGモデル(Price Earnings Growth Model)
$${P_t=\dfrac{E_t [\tilde{x}_{t+1}]}{r}\cdot\dfrac{g_x}{r}}$$

更に、これまで議論してきたOhlson[1995]等の各種モデルも併せた企業価値評価モデルの類型は以下の通りである。

次回は、主にAEGモデルをベースにAEGの成長率に関する仮定やCSRを仮定することで導かれる発展的なモデルを取り扱う。