昔の数学のノート

四半世紀前の高知工科大学時代のノートメモが4枚出てきた。
メモは壇砂利で捨てるので、
ここに書き留めておく。
たった4枚のメモが多分書いた時は３０分ぐらいなのに、
朝からwordに落とすのに６時間もかかった。
一旦読み上げてパソコンに文字起こしさせたが、
数式や数学の記号はほぼ訳せてなくて使えなかった。
ラージFとか、スモールGも１文字にはなってなかった。
NOTEに落とすと冪乗や下の添字も表現されず、
微分などを表すドットXも表示されなかった。

以下メモ

アーベルの定理。
    n>=5 一般に解の公式はない。

ガロアの定理。
  解の公式を持つ。
  体を群という概念が必要。
  体；ℂの部分集合で加減乗除について閉じているものを体という。
つまり　K⊂ℂが体であるとは
    α,β∈K 　⇨　α±β∈K　　　　∈；属する
　　　　　　　αβ∈K
　　　　　　　 α/β∈K (β≠0)
が成り立つことを言う。

例　Qは体である。
       Rも体である。
       ℂも体である。

例　Zは体でない。
αβ∈Z 　⇨　α/β∈Z
が成り立たない。

例　β1,・・・, βn, ∈ℂとする。
1.　 β1,・・・, βnから有限回の加減乗除で表わされる複素数の全体。
　（β1,・・・, βn）の分数式の全体は体となる。
　　これをQ（β1,・・・, βn）で表す。
方程式f(x)＝a0xn+ a1xn-1+・・・＋an=0 （a0≠0）
に対して、
K＝Q（a0, a1,・・・, an）を
f(x)の定義体と言う。
この解をα1,・・・, αnとするとき、
L=Q（α1,・・・, αn）をf(x)の分解体と言う。
つまり方程式に対して定義体、分解体という二つの体が定まる。

群　あみだくじの数学的理論
　あみだくじとは、数字の並べ替え
　※ 集合 f：x→X を写像
各x∈Xに対して、y∈Xをただ一つ定める操作のこと

例1 X ={1,2,3}
f(1)=1 , f(2)=2 , f(3)=3
によりf：x→Xが定まる
例2 X ={1,2,3}
f(1)=2 , f(2)=3 , f(3)=1
によりf：x→Xが定まる

まとめ　あみだくじは写像を考えることができる。
あみだくじの性質
① x1≠x2　　⇨　　f（x1）≠f（x2）
② どのようなy∈X に対しても
y=f（x）となるx∈Xが存在する。
① 、②を満たすf：x→Xの全体をS（x）と書き、：xの対象群という

例　X ={1,2,3}の時
S（X）は6個の要素からなる。
1 　2　3　　1　2　3　　1   2　3　　1　2　3　　1　2　3　　1　2　3　　
↓   ↓   ↓      ↓   ↓   ↓       ↓ ↓   ↓       ↓  ↓   ↓       ↓  ↓   ↓       ↓  ↓   ↓
1　2　3　　2　1     3　   3  2　1　　1    3　2        2   3    1        3  1    2

順列
例　　 X ={1,2,3,・・・,n} の時
S（X）はn！個の要素より成る

群の性質
① f,g∈S（X）　⇨　g ○ f∈S（X）　　　（○を合成という）
        f　　　g
X　→　X　→　X　
　　　　→
            g ○ f
（g ○ f）(x)=g(f(x))

② f、g、h ∈S（x）
（g ○ f）○ h =f ○ ( g ○ h)
③ e ∈S(x) ですべてのf∈S（x）に対して
（e ○ f）○ h =(f ○ e)=f となるものが存在する
④ f ∈S(x)　に対して、fの逆写像を
               ・
f -1 = S（x）と書けば
f ○ f ^-1 ＝f^ -1　○ f=e が成り立つ
Gc S(x) が。S(x)の部分群であることは
f,g∈G ⇨ g ○ f ∈F　が成り立つときを言う
さらにGが正規部分群であるとは、Gが部分群であって、
任意の　f ∈S(x),g ∈Gに対してf ^-1 ○ g ○ f∈Gとなることを言う
HがGの正規部分群であるとき
群　G /H={fH | f ∈G } が
（fH）○（g H）＝（f ○ g）Hにより定まる