【まえがき公開】数学者・物理学者からも推薦の声、続々！――近刊『授業では教えてくれない微積分学』
2024年11月下旬発行の新刊書籍、『授業では教えてくれない微積分学』のご紹介です。
同書の一部（まえがき）を、発行に先駆けて公開します。
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まえがき
本書は、1変数関数の微積分学を、標準的ではない方法で解説するものです。一つの基本的な執筆方針は、高校までの数学で詳しく説明されずに積み残されている伏線を明確に指摘して、できるだけ回収するということです。それによって、高校までに学んだ数学から自然につながる形で微積分の理論を展開します。そのために、通常は大学の講義では扱わないような内容に踏み込んでいるところや、逆に通常の講義で扱われる内容に触れていないところもあります。このように設計された大学の講義はほとんどないと思いますし、そうしたいと思ってもいろいろな事情で難しいとも思うので、「授業では教えてくれない微積分学」*というタイトルにしました。他書との違いについては、あとがきにもう少し詳しく書いておきました。
* 講義と授業は本来は意味が違いますが、最近では区別しないことも多くなりました。筆者の所属する大学でも「授業評価アンケート」という言葉が公式に使われています。
本書を手に取る人の中には、大学で教えられる微積分学を学んだことのある人も多いと思うので、そのような方に向けて、少し内容の紹介をします。大学で微積分の講義を受けたり、あるいは独学で微積分の教科書を読むと、高校までの微積分とはかなり違う感じを受けて、そのことに難しさを感じる人は多いようです。実際に聞いたことのある疑問として、
①実数を十進無限小数の集合だと思って、何がいけないのか？
②実数の連続性は公理とされているが、証明できないのか？
③極限の定義が高校で学んだものと違っているのはなぜか？
④対数関数や指数関数の定義が高校で学んだものと違っているのはなぜか？
⑤三角関数の定義が高校で学んだものと違っているのはなぜか？
⑥中間値の定理は明らかだと思っていたが、証明が必要なのか？
⑦積分の定義が高校で学んだものと違っているのはなぜか？
といったものが挙げられます。受けている講義や読んでいる教科書があまり理論に踏み込まない方針の場合は、これらの疑問のいくつかは意味がわからないかもしれませんが、一つか二つでも共感するものがあれば、本書から得るものはあると思います。
本書を読むことで、これらの疑問は以下のように解消されます。まず、高校の数学のように積分を原始関数によって定義すると、かなり身近な応用でさえ困ることを最初に紹介します（⑦）。これがすべての出発点です。そのうえで、どのように定義を変えるのが自然であるかを説明し（リーマン積分の概念）、そのためには実数や極限の概念を考え直す必要があることも説明します（③）。実数を十進無限小数の集合だと思うことはとくに問題はないので（①）、本書ではその立場を取り、実数の連続性はそれに基づいて証明します（②）。この実数の連続性と見直した極限の概念を組み合わせることで、リーマン積分が広い問題に適用できることが証明できます。さらに、この積分が実は高校で学んだものと多くの場合には一致することも証明します（⑦）。ここまでが微積分の理論の核となる内容です。
その他の疑問はどちらかというと脇道になります。まず中間値の定理に関しては、極限の定義を見直したので、関数の連続性も見直したことになっていて、すると高校の数学の教科書に書かれている「連続関数のグラフは切れ目のない曲線である」という認識が怪しくなってくることを説明します。そうすると、中間値の定理に証明が必要なことは自然にわかると思います（⑥）。指数・対数関数と三角関数については、実数の連続性やリーマン積分を用いて、高校で学んだ定義が数学的に正当化できることを示します（④、⑤）。これは「なぜか？」という問いへの答えにはなりませんが、「変えなくてもよい」という答えを与えているわけです。
ただし、こういう疑問に答えることだけが本書の目的ではないことも強調しておきます。将来の数学に備えるという目的にこだわらなければ、微積分学の基礎理論は高校までの数学を少しアップデートする程度で易しく記述できるということが、最も伝えたいことです。
上に書いたのは、本書の第1章から第5章までと、付録に書いた内容です。後半の第6章から第9章は、基礎理論の応用という位置付けです。この部分は内容としては標準的なので、目次から概要がわかると思います。技術的には、積分の基礎理論を先に展開して、それを微分の理論と応用で積極的に使っている点は、やや非標準的かもしれません。
本文中にときどき問題を出しています。Checkは、定義や定理の意味を確認する程度のものです。Tryは難易度に幅があり、難しいものもあるので、初見では必ずしもできなくてもよいものです。何かが難しいことを説明するときに、簡単にはできないことを自分で確かめてほしいという意図で出していることもあります。いずれにせよ訓練や力試しの意味はなく、取り組むことが本文の理解に役立つものに限っています。だからといって、解けないとその先の理解に支障が出るわけでもないので、あまり深刻に考えずに先に進んでください。
（後略）
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筑波大学 福島竜輝（著）
「極限や積分の定義」が、高校と大学で違うのはなぜ？
「中間値の定理」って、わざわざ証明するようなものなの？
「実数の厳密な構成」って本当にやる意味ある？
従来の教科書や授業では触れられてこなかったこれらの疑問点に答えつつ、微積分学を再構築。
これまでの学び方をアップデートする、「もう一つの」微積分学の入門書です。
独学者だけでなく、大学や高校の教員にとっても発見のある一冊。
◆そのほかの特長◆
・「実数」「関数」「曲線の長さ」「図形の面積」など、「高校の教科書ではさらっと説明されているが、よくよく考えると難しい概念」について、高校との接続を意識して解説。
・「0.999…＝1」「ロピタルの定理」「微分の記号」「広義積分」といった「初めて学ぶ際に混乱しやすい内容」についても明解に解説。
・大学数学のハードルの一つである「定義や証明に対する向き合い方」にも随所で触れています。
◆数学者、物理学者からも推薦の声、続々！◆
服部哲弥氏（慶應義塾大学名誉教授）「単に正しい証明というのではない。その場面でその証明を選ぶ理由がある」
原隆氏（九州大学教授）「高校数学から最短距離で構築する、厳密な微積分学！」
【目次】
第1章 積分について考え直す
1.1 積分できない関数①：振り子の周期
1.2 積分できない関数②：楕円の周の長さ
1.3 曲線の長さを考え直す
1.4 積分の定義を考え直す
1.5 積分の新しい定義に向けて
第2章 実数の概念と数列の収束
2.1 実数とは何か
2.2 実数列の収束の定義
2.3 収束実数列の性質
2.4 実数の連続性：書けない極限を作る方法①
2.5 ネイピア数の存在証明：実数の連続性の例として
2.6 実数の連続性：書けない極限を作る方法②
第3章 関数とその連続性
3.1 関数とは何か
3.2 関数の点での連続性
3.3 区間で連続な関数の有界性，一様連続性
3.4 関数の極限の定義
第4章 積分の定義
4.1 区分求積法の問題点
4.2 リーマン積分の定義と性質
4.3 連続関数のリーマン積分可能性
4.4 積分可能性の証明にコーシー列を使った理由
4.5 リーマン積分の計算は大変
第5章 微分①：積分との関係
5.1 微分の復習
5.2 微分と関数の増減：主張と証明の難しさ
5.3 微積分学の基本定理：主張と意義
5.4 微積分学の基本定理の証明：積分してから微分する場合
5.5 微積分学の基本定理の証明：微分してから積分する場合
5.6 平均値の定理を避ける理由
第6章 微分②：関数の近似
6.1 ランダウの記号：無限小の比較
6.2 微分と1次関数による近似の関係
6.3 微分の計算法則と置換積分公式・部分積分公式
6.4 テイラーの公式：多項式による近似
6.5 テイラーの公式の応用：不定形の極限
第7章 具体的な関数の微分・積分
7.1 逆三角関数の導入
7.2 初等関数の微分
7.3 微分の記号に関する注意
7.4 テイラーの公式の応用：無限級数への展開
7.5 円周率の近似計算
7.6 円周率が無理数であることの証明
第8章 広義積分
8.1 広義積分とは何か
8.2 広義積分の使用上の注意
8.3 広義積分の絶対収束
8.4 広義積分と微積分学の基本定理
8.5 振り子の周期の問題の解決
第9章 曲線の長さと図形の面積
9.1 曲線の長さの定義
9.2 曲線の長さの積分表示
9.3 円弧の長さと円周率の存在証明
9.4 楕円の周の長さの問題の解決
9.5 平面図形の面積の定義と積分との関係
付録A 実数とその部分集合の性質
A.1 実数の四則演算について
A.2 ハイネ‐ボレルの被覆定理の証明
付録B 連続関数の深い性質と応用
B.1 連続関数の有界性と一様連続性の証明
B.2 置換積分公式再訪
B.3 中間値の定理
B.4 逆関数の微分定理の証明
付録C 三角関数と指数関数の定義
C.1 三角関数の定義と性質
C.2 指数関数の定義と性質
あとがき
参考文献
索引