【難関校対策】正多面体の“切頂”立体

正四面体の各辺の中点をとり、
「凸部に近接の3点を通る平面で凸部を切り落とす」
ことで、どのような立体ができるでしょうか。

そうです、
「正八面体」
ですね。

このように、
「正多面体の辺の“三等分点”や“中点”」
を通る平面で、
「凸部（頂点部分）を切り落とす（→“切頂”）」
ことによって、様々な
“半正多面体”
ができ、
“昔のサッカーボール”
をイメージさせる立体（最後に画像有）や、
“準正多面体”
などと呼ばれる立体もできましたね。

特に、
「正四・六・八面体の“切頂”立体」
については、扱いやすいこともあり、入試の題材とされることが多くなります。

それらを十分に分析して把握しておくことは、
「難関校入試対策としては有効」
だと思います。

※
【半正多面体】とは、
「正多角形（2種類以上）のみで構成された凸多面体で“頂点部分の面構成”が全て同じ」
である立体のことで
【準正多面体】とは、上記に加えて
「ある面と辺を共有する他の面が全て合同」
である立体のことです。

和訳の段階で、
「どの言葉を用いるか」
の解釈で諸説あるようですが、一応上記の理解が一番しっくりくると思います。

2024年の難関校入試問題においては、
「正多面体の切頂立体」
に関する出題が“はやり”となっているかのような状況でした。

例えば、【筑駒】では、
「立方体（または正八面体）の“切頂”立体」
の展開図が示され、誘導参考図として
「立方体の見取り図」
も用意されて出題されていました。
事前に慣れ親しんでさえいれば、簡単に取り組むことができたはずの設問内容でした。

【開成】でも、
「正四面体の“切頂”立体」
に関する出題があり、外接球の半径を求めさせる設問もありましたが、誘導の断面図も示されていたこともあり、これまた簡単に解き進められたはずです。

その他【早・慶】でも出題されており、コロナ禍が明けたこともあり、
「やや馴染みの薄い立体で難易度をあげる意図」
により、“はやって”しまっているような状況になったのかもしれません。

いずれにしても、十分に予想できる範囲の立体であり、事前に分析さえしていれば、かなりのアドバンテージになったことでしょう。

そこで、手始めとして次の問題に取り組んでみましょう。

【問題】
「1辺10の正方形6個」と「1辺10の正六角形8個」の14面で形成される多面体の体積を求めよ。

もし、
「この多面体の展開図が示されている」
のであれば、その立体形状をイメージするのは簡単だと思います。

そこで、
「展開図がない」
状態で、与えられた条件を満たす立体形状を、
「理詰めで絞り込む」
ことで特定し、その見取り図を頑張って描いてみましょう。

そこまでできれば、
「体積を求めること」
も容易に行えるはずです。

【解説】
まず、
「正多面体がなぜ5種類のみか？」
を説明する際と同様に考えていきましょう。