【刺激】結城浩「数学ガール」で、ゲーデルの不完全性定理（不可能性の証明として有名）を学ぶ

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「数学ガール」では、どのようなステップを踏んで「ゲーデルの不完全性定理」にたどり着くのか？

「数学ガール」シリーズの設定

本書は、「数学ガール」シリーズの第3弾です。どのシリーズから読んでも基本的には問題ありませんが、数学の説明が小説仕立てで展開される作品で、登場人物の関係性や成長などは順番通りに読んだ方が良いと感じる人もいると思います

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というわけで、まずは登場人物の紹介から。

主人公は「僕」。高校2年生で、数学が趣味。学校の勉強だけではなく、自分なりの興味に従って様々な数学の研究を自ら行っている。

ミルカさんは、「僕」の同級生。数学の才媛で、数学に関してずば抜けた能力を持つ。「僕」を中心に数学について語らう様々なメンバーを、予想もつかない高みへといつも連れて行ってくれる。ピアノの腕前もかなりのもの。常に冷静沈着でクールなのだが、高所恐怖症だと判明した。

一学年下のテトラちゃん。英語は大得意だが、数学は大の苦手で、それを克服するために、数学が得意だと噂されている先輩（「僕」のこと）に教わろうと決意。勇気を出して話しかけて以来、数学について語る間柄になっている。理解は決して早いとは言えないが、理解するまで決して諦めない粘り強さと、理解が追いついてからの定着度は素晴らしいものがある。そして時々「僕」をハッとさせるような質問をする。

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従姉妹のユーリ。「～にゃ」と猫っぽく喋る中学生で、よく「僕」の家に入り浸っている。お兄ちゃん（「僕」のこと）から数学を教わるのが好き。中学生なので数学そのものの知識はさほどないのだが、論理的な話になると滅法強い。

小説仕立てということに加えてもう1つ、このシリーズの特徴を挙げておきましょう。

シリーズ第1作を除いてすべて、このシリーズには副題がついており、本書では「ゲーデルの不完全性定理」です。そしてこの副題が、それぞれのシリーズの「最終到達地点」ということになります。

冒頭からしばらくの間は、「これがどんな風に最終到達地点に関係するのだろうか？」と感じるような話が展開されます。しかし読んでいくと、「なるほど、最終到達地点にたどり着くためにこのような順番になっているのか」と理解できる、という流れになるわけです。

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どのシリーズにおいても、「最終到達地点」が近づくにつれて説明はかなり高度で難しくなり、相当の数学力を持つ人でなければ読み解けないだろうと思います（私も、「最終到達地点」については、何が書いてあるのかほとんど理解できないことが多いです）。ただし、「最終到達地点」付近は、数学初心者でも結構ついていける内容ですし、説明の流れに乗って行けば、自力ではまず到達できない高みまでたどり着くことは間違いないと思っています。

この記事にぴても、「最終到達地点」である「ゲーデルの不完全性定理」についてはほぼ説明しません。私が他人に説明できるほど理解できていないからです。なのでこの記事では、「どのようなステップを踏んでゲーデルの不完全性定理に辿り着こうとしているのか」について触れていこうと思います。

「ペアノの公理」とは何か？

このシリーズには、メインキャラクターではありませんが、村木先生という数学教師も登場します。主人公やテトラちゃんに、数学をより深く理解するための問題を出してくれる人物です。

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本書では、細々した話が冒頭で展開された後、最初に出てくる大きな話が村木先生が出してくれた「ペアノの公理」になります。「ペアノの公理」とは一体なんでしょうか？　まずはその定義を書き出してみます。

①　1は自然数である
②　どんな自然数nに対しても、後続数n'は自然数である
③　どんな自然数nに対しても、n'≠1が成り立つ
④　どんな自然数m,nに対しても、m'＝n'ならばm＝nである
⑤　自然数nに関する述語P(n)で、(a)と(b)が成り立つとする。
　(a)　P(1)である
　(b)　どんな自然数kに対しても、P(k)ならばP(k')である
　このとき、どんな自然数nに対しても、P(n)が成り立つ

仰々しく書かれたこの「ペアノの公理」は、「自然数を定義する」ために必要なものです。

大事なことは、「自然数がどういうものなのか『知らないフリ』をする」ということです。私たちは「自然数」がどんなものなのか知っているので、それを「定義する」なんて意味があるように思えません。ただ、「知っているから定義しなくていい」というのも、数学的な態度ではないとも言えます。

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だから、当たり前の存在でしかない「自然数」とは何なのかについてとりあえず一旦「知らないフリ」をして、「自然数」をどのようにきちんと定義した上で作り出すか、という話が展開されます。

しかし、「1,2,3,4…」を定義するために、これだけ複雑そうに見えるルールが必要なんだなぁ、と思うと、なんとなく不思議な感じがしてきます。

「0.999999…＝1」について

それから話は「無限」に移っていきます。「無限」の話は数学の世界の中でも結構ややこしく、不思議な話がたくさんあるのです。そんな「無限」の不思議について議論が展開されることになります。

「無限」の話で興味深いと感じたのが、「0.999999…＝1」です。「0.999999…」と「1」が同じ数だ、ということは昔から知っていたのですが、その解釈について面白いことが書かれていました。

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まず、私が元から知っていた話を書きましょう。なぜ「0.999999…＝1」になるのかについての説明です。

①　x=0.999999…と置く
②　10倍する　10x＝9.999999…
③　各辺を引く　（10x－x）＝（9.99999…）－（0.99999…）
④　計算をする　9x＝9　⇒　x＝1
⑤　①と④から、0.99999…＝1となる

計算的な理解は元々していましたが、「0.999999…＝1」というのが一体どういう意味なのかについては、本書を読むまできちんと理解していませんでした。

その点に関しては、ユーリの発言を引用することにしましょう。

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この、「0.999…」という書き方が犯人だ。これ紛らわしいっ！
…あのね、数列を書くときってさ、
0.9、0.99、0.999、…
みたいに、最後にテンテン（…）付けて書くじゃん。だから、0.9、0.99、0.999、と続けた先に、「0.999…」もいつか出てくるって、思ってたんだよ。でも、そうじゃないんだね。0.9、0.99、0.999の先に、0.999…は出てこない。0.999…なんて書くからまぎらわしいんだよ、まったく！　♡とか書いてくれればいのにさ。
・0.9、0.99、0.999、…は、♡に限りなく近づく。
・そして、♡は1に等しい。
こんなふうに言ってくれれば、何も混乱しないのに

ここで重要なポイントは、「0.9、0.99、0.999の先に、0.999…は出てこない」という部分です。

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