The sums of the three prime numbers to the Cube.

-------------------------------------------------
$${\rm Published}$$  $${\rm Online}$$  $${\rm First}$$  $${\small (9/6/2024)}$$
$${\rm Latest}$$  $${\rm additions}$$  $${\small (10/19/2024)}$$
-------------------------------------------------

-------------------------------------------------

【更新履歴】

-------------------------------------------------
【$${10/22/2024}$$】
検索範囲$${\small (w \leqq 593,000)}$$
-------------------------------------------------
【$${9/30/2024}$$】
検索範囲$${\small (w \leqq 500,000)}$$
-------------------------------------------------
【$${9/24/2024}$$】
素数の$${3}$$乗が$${3}$$個の素数の$${3}$$乗の和として$${2}$$通りに表せる$${7}$$番目の解が見つかりました.

$${\begin{aligned}463501^3&=436459^3+248447^3+103099^3\\&=411577^3+263303^3+226381^3 \end{aligned}}$$
$${\small \rm (Takao \<space> Nakamura, 9/24/2024)}$$
-------------------------------------------------
【$${9/16/2024}$$】
素数の$${3}$$乗が$${3}$$個の素数の$${3}$$乗の和として$${2}$$通りに表せる$${6}$$番目の解が見つかりました.

$${\begin{aligned}403549^3&=401321^3+85081^3+77563^3\\&=390373^3+174149^3+98227^3 \end{aligned}}$$
$${\small \rm (Takao \<space> Nakamura, 9/16/2024)}$$
-------------------------------------------------

【ランダー・パーキン・セルフリッジ予想】

$${\small \rm (Lander, Parkin, and \<space> Selfridge \<space> conjecture)}$$

同じ次数の和からなる方程式の整数解についての予想であり、$${k}$$乗数の和が$${k}$$乗数の和と等しい場合、項の数は少なくとも$${k}$$個であるという予想である。
フェルマーの最終定理の一般化のひとつである。

$${1}$$より大きい$${n}$$と、自然数
$${a_1,a_2,…a_n,b_1,b_2…b_m}$$に対して
$${\sum\limits_{i=1}^n\ a_i^k}$$ $${=}$$ $${\sum\limits_{j=1}^m\ b_j^k}$$が成立する場合は
$${n+m \geqq k }$$であるという予想。未解決。
-------------------------------------------------
ランダー・パーキン・セルフリッジ予想の$${(k,n,m)=(3,1,3)}$$の時は
$${case(13.2)}$$  $${w^3=x^3+y^3+z^3}$$
となり、無限に解が存在する。

ここで、次数や係数や項数を変えるのではなく、
解が【自然数】→【素数】に制限を強くしてみる。
既に次の解
$${709^3=631^3+461^3+193^3\\\small  \rm (Jean \<space> Charles \<space> Meyrignac, 9/8/2000)}$$
というのがあるらしい…。
もう少し大きな数字まで検索すると意外にも解が次から次に出てくる…
$${1033^3=823^3+691^3+599^3\\2767^3=2213^3+2179^3+103^3\\2791^3=2447^3+1879^3+769^3}$$
-------------------------------------------------

【勝手な予想】

-------------------------------------------------
全て素数だけからなる解の、右辺の解が$${3}$$通り、…$${n}$$通りの場合はあるのか？
$${3}$$通り以上の解、$${\small w \leqq 593,000}$$の範囲で解なし
-------------------------------------------------

1を含む素数解

-------------------------------------------------
$${\small w \leqq 593,000}$$の範囲で唯一の解
$${69709^3=56503^3+54101^3+1^3\\\small \rm (Takao \<space> Nakamura, 2/2/2024)}$$
-------------------------------------------------

2通りに表せる解

-------------------------------------------------
$${\small w \leqq 593,000}$$  既知の解は$${7}$$個

$${\begin{aligned}28477^3 &=27361^3+11071^3+10781^3\\&=26183^3+17203^3+3739^3 \end{aligned}}$$
$${\small \rm (Takao \<space> Nakamura, 2/2/2024)}$$

$${\begin{aligned}33199^3&=30941^3+19081^3+2833^3\\&=26647^3+24197^3+15187^3 \end{aligned}}$$
$${\small \rm (Takao \<space> Nakamura, 2/2/2024)}$$

$${\begin{aligned}49069^3&=40343^3+37441^3+661^3\\&=38119^3+37243^3+22307^3 \end{aligned}}$$
$${\small \rm (Takao \<space> Nakamura, 2/2/2024)}$$

$${\begin{aligned}234181^3&=233239^3+52267^3+22619^3\\&=205171^3+157057^3+69233^3 \end{aligned}}$$
$${\small \rm (Takao \<space> Nakamura, 9/6/2024)}$$

$${\begin{aligned}300239^3&=296249^3+86293^3+75017^3\\&=231719^3+221747^3+154933^3 \end{aligned}}$$
$${\small \rm (Takao \<space> Nakamura, 9/9/2024)}$$

$${\begin{aligned}403549^3&=401321^3+85081^3+77563^3\\&=390373^3+174149^3+98227^3 \end{aligned}}$$
$${\small \rm (Takao \<space> Nakamura, 9/16/2024)}$$

$${\begin{aligned}463501^3&=436459^3+248447^3+103099^3\\&=411577^3+263303^3+226381^3 \end{aligned}}$$
$${\small \rm (Takao \<space> Nakamura, 9/24/2024)}$$
-------------------------------------------------

【Database】w^3=x^3+y^3+z^3

-------------------------------------------------
$${709=631+461+193}$$は
$${709^3=631^3+461^3+193^3}$$
を表す事にする.
-------------------------------------------------
$${w^3=x^3+y^3+z^3}$$
-------------------------------------------------

0 < w < 100,000    113個(114個)

-------------------------------------------------
$${709=631+461+193}$$
$${1033=823+691+599}$$
$${2767=2213+2179+103}$$
$${2791=2447+1879+769}$$
$${2917=2591+1951+31}$$
$${3727=3541+1667+1399}$$
$${3769=3631+1783+11}$$
$${5647=5171+3121+2251}$$
$${5657=5399+2731+1487}$$
$${5737=5167+3691+839}$$
$${7039=6863+2377+2099}$$
$${7321=5843+5443+3163}$$
$${8089=6481+6323+1621}$$
$${8291=7559+4999+2357}$$
$${8387=7589+5297+1621}$$
$${9433=7681+5987+5557}$$
$${9473=9431+2237+397}$$
$${9851=8623+6521+3347}$$
-------------------------------------------------
$${12073=11731+4327+4007}$$
$${12343=10321+9209+373}$$
$${13417=12277+7561+5099}$$
$${14083=13259+7129+4689}$$
$${14561=13469+8599+1997}$$
$${14723=14207+6427+3881}$$
$${14831=12959+9439+6257}$$
$${14969=14741+5189+2239}$$
$${15313=15259+2969+2269}$$
$${18127=17971+5227+2129}$$
$${19841=16127+15263+3931}$$
-------------------------------------------------
$${25033=20269+19391+4098}$$
$${28081=27967+6451+503}$$
$${\bf 28477=27361+11071+10781}$$
$${\bf 28477=26183+17203+3739}$$
$${29153=28349+12583+1181}$$
$${29179=26633+17989+5077}$$
-------------------------------------------------
$${33771=28193+25343+8433}$$
$${33161=29033+22343+9433}$$
$${\bf 33199=30941+19081+2833}$$
$${\bf 33199=26647+24197+15187}$$
$${38377=30937+18869+9491}$$
$${34337=31069+21317+9311}$$
$${36713=35573+16103+6637}$$
$${36809=29663+27107+15679}$$
$${37831=29833+29173+14033}$$
$${39511=35923+23537+13171}$$
$${39929=37511+19433+15241}$$
-------------------------------------------------
40093=35531+26713+8089
40939=39161+18541+12973
41983=41941+6047+907
42157=37991+27061+6481
42571=41269+18397+8609
42589=33811+33013+13781
44171=42473+19577+12721
44497=44131+12919+47
44587=44533+6323+4099
46337=43721+24677+9619
46681=46567+9059+199
47609=37217+32587+27917
48407=46769+22277+4201
48479=42307+33587+6857
48781=41959+28537+26669
49069=40343+37441+661
49069=38119+37243+22307
49481=41579+33211+23291
49999=48889+20117+73
-------------------------------------------------
50153=46499+29411+5563
50647=42359+33343+25633
53419=52903+16301+3511
54421=43291+35027+33343
55487=54319+18773+15803
58309=44971+43313+29641
59009=53189+37813+9767
59341=56431+29671+14639
59419=49843+35159+34897
59443=47701+39503+34159
59509=50503+41357+22369
59779=49531+45161+223
-------------------------------------------------
62191=60331+27551+3109
62299=54193+43451+8431
62897=55079+43397+421
63949=61151+28921+20533
64223=53717+41221+34157
65449=63761+26641+13063
66359=53087+52067+11317
-------------------------------------------------
69709=56503+54101+1
-------------------------------------------------
73421=58943+52673+35533
75239=62921+56081+7573
75617=63857+49331+37309
75619=75533+10459+6907
77279=66293+54919+16547
77471=68489+50929+22637
79699=75559+4152+14797
79873=75781+38567+25717
-------------------------------------------------
80809=80803+4889+877
82891=73063+50417+37171
83311=81517+32999+8539
83843=74363+53993+27487
84239=67807+55967+48017
84463=73453+59077+4133
85991=81629+45121+4241
89083=81463+54919+8861
89363=89107+18287+401
89513=81131+50527+37847
-------------------------------------------------
90173=89237+24953+19183
90227=89431+21407+21149
90379=71537+67219+40903
91127=88547+35449+26171
91139=72977+70619+25303
93229=86923+53507+7159
93809=76883+71849+5557
94057=77447+70573+25237
94447=91453+39119+26083
97103=93419+40591+32213
98101=92899+51719+15907
99103=97Z89+32369+16249
99719=81761+76129+15629
-------------------------------------------------

100,000 < w < 200,000     100個

-------------------------------------------------
100313=89983+52733+51197
100799=95731+62181+16823
101399=100129+33149+13121
101917=88463+71413+12889
102217=91243+63863+36319
102841=81901+66949+61991
103651=99089+44959+36787
104543=85193+68227+59123
104701=103969+28807+149
106181=84011+83093+31237
106207=92041+73181+29761
106291=94933+69317+23041
109721=105341+46679+36901
-------------------------------------------------
114599=99233+80809+5477
115987=115597+23017+15173
117269=110477+58099+40853
117563=115471+43973+5639
119701=95467+90313+47681
119809=10551+68447+60757
-------------------------------------------------
121181=121171+7607+683
121967=89209+89003+73643
123217=120551+43951+32371
124529=111791+79379+32359
125017=120997+54013+29207
126067=120577+60649+30161
126739=123737+42793+39769
129553=118717+66191+59557
-------------------------------------------------
130399=129527+35353+79
131071=112909+93251+11311
131251=122761+72421+31469
132533=110023+91151+62039
134161=129529+62011+14621
134327=130643+41279+44653
134639=133271+37181+28123
135007=119921+73387+69859
135151=109049+100207+54919
135581=134851+34211+719
135589=134081+37663+30661
135593=128237+58693+56663
136111=132541+55673+27457
138581=114773+104711+11257
-------------------------------------------------
140069=117497+83233+81899
140863=133283+68713+46867
142673=124301+98327+32077
143141=138323+65843+9463
145471=136397+67993+60961
145547=119417+110939+24631
146213=146203+8609+1481
146317=115859+115741+29917
146323=145721+33769+313
148367=144931+60089+16787
149399=130343+90149+72907
149749=129289+105673+25667
149867=147449+54323+1663
149939=147341+55633+2621
-------------------------------------------------
150587=122033+113189+52813
150889=126311+110419+41959
151687=129119+109741+25147
155003=136207+106181+1607
155209=142567+94397+4357
155537=153313+54167+5657
156071=130681+111719+58271
156139=155303+39157+9199
158923=145361+94033+48049
159079=135281+115399+23599
159119=139123+109379+30137
-------------------------------------------------
160861=136949+112501+55411
162091=126031+119311+82349
162457=154423+77863+51059
162553=150533+93739+39241
162901=156943+74923+33203
163211=159389+60887+41719
163697=159701+55889+51787
165383=161659+65963+22721
165817=132911+130279+4507
165883=157639+86501+3823
166169=134363+107251+97571
167029=147491+113963+8761
169919=157259+99829+28031
-------------------------------------------------
170227=160001+94207+8179
171079=142939+126127+43133
172321=168991+66173+10597
173297=172859+31793+19333
174329=169649+73517+26203
176597=168023+81083+61339
177319=176179+47441+4099
177647=151517+128021+30949
178897=168713+97369+3823
178951=177979+39569+31387
-------------------------------------------------
180749=177839+58199+43711
182297=141709+133013+95063
183637=147739+124771+100847
183763=176777+87541+21757
185683=176207+96457+32251
185869=173647+100523+55339
188861=149713+149351+36677
-------------------------------------------------
192407=156641+147377+42829
192697=190759+59707+9551
196331=176549+102647+99439
198817=174763+119923+92699
-------------------------------------------------

200,000 < w < 300,000     103個

-------------------------------------------------
201329=196439+83399+6091
201781=195991+86441+34549
202753=187973+119047+18133
202879=182341+127601+59473
205553=166183+128669+125261
208631=197753+103007+63391
209477=208493+48889+22943
-------------------------------------------------
210209=179651+150889+38069
211007=190769+134851+2027
211811=159931+150587+125933
211997=174917+139297+113783
215737=210359+90121+7417
216061=213847+67279+14699
217661=211011+93187+4463
217937=193507+118787+112643
218077=216037+61331+38629
218249=217937+34897+12647
218521=179393+167047+4561
218761=215843+71443+36523
-------------------------------------------------
220447=219679+43313+31183
221173=218087+70321+46237
222823=207941+123667+56527
223781=199489+140891+77801
225523=184669+138793+135701
226903=225161+64237+12457
227251=178501+170341+103409
227743=217793+112087+41863
228311=211421+130769+69779
228383=205657+147557+10601
229217=216661+123209+13187
-------------------------------------------------
230101=199657+160861+39503
231701=214031+133697+62533
232711=222403+116923+14633
233713=222907+118687+21011
234103=232811+59557+487
234181=233239+52267+22619
234181=205171+157057+69233
236077=216991+143249+8317
236143=197257+154591+121607
236783=198281+166349+95713
237217=227089+106693+75083
238001=214891+151883+37907
-------------------------------------------------
240017=238727+60029+17581
240589=231461+94561+87943
241919=214763+147517+101399
242273=204599+177763+33791
243539=203393+169097+106129
243871=225493+128351+97387
244597=227497+139831+50069
246509=241601+85199+63709
246773=228523+145703+7547
248749=230939+137713+77377
249103=235349+123973+80221
249317=213131+178001+56041
-------------------------------------------------
252013=251233+49127+30803
253493=250951+71633+48989
253537=216911+174289+92737
253639=230017+160669+113
256903=211153+172169+134581
257879=203117+192043+119039
259643=251063+107999+74821
259967=229181+176857+2609
-------------------------------------------------
261619=234931+170081+27103
262877=236729+169493+31183
263533=255551+100357+84457
263927=218233+172973+141209
265123=246343+154087+30293
265493=231779+184321+593
267389=252817+143513+13619
267593=252881+125197+100907
269063=233251+189347+1697
269341=268537+51419+33769
269389=268819+48623+20707
-------------------------------------------------
270131=269761+42533+15797
270493=244639+154753+113021
270953=260999+116359+81299
272719=237073+154061+148921
274817=263657+126031+75209
276827=234161+202817+31729
277157=258197+141067+108293
277829=234317+194687+106297
277999=242659+187987+82073
278459=243857+186469+84653
278849=278329+41357+36923
-------------------------------------------------
280243=255247+175211+9337
281321=243857+195053+69931
281959=235397+207973+72229
283133=252463+187631+5899
283799=265709+159673+30137
283861=264559+155887+62799
284111=268781+143687+81883
284657=275453+128629+33503
286999=286771+37201+16883
287057=270937+142619+95261
-------------------------------------------------
290033=262949+154943+135661
290557=268771+144271+128291
290707=255709+190843+96443
292309=209089+201337+197243
292711=253717+174569+150769
292793=278807+143791+76907
292807=248137+205187+105883
293989=254329+202933+84407
298601=294649+101399+8537
-------------------------------------------------

300,000 < w < 400,000      95個

-------------------------------------------------
300239=296249+86293+75017
300239=231719+221747+154933
301447=297457+87701+73609
301627=243583+229847+94597
303571=284477+170293+24841
305119=243869+213953+160117
308701=305017+88799+69829
309521=308551+59357+40973
-------------------------------------------------
311303=275657+208927+46751
311323=304597+109847+83791
311539=297061+158803+26171
313289=262399+233183+14627
313639=234977+214729+199813
314401=314263+34351+7187
317327=267419+219361+131507
317887=260791+232591+121721
-------------------------------------------------
322037=309437+148073+80527
322093=299513+187069+2551
322271=303473+167051+95107
323651=310693+148793+85133
323789=257497+239429+146543
324517=311329+158647+18701
324587=308597+141769+125141
326203=307687+177383+6733
327739=324931+95261+31963
327829=326567+67489+46093
329321=321077+135581+49783
-------------------------------------------------
330247=329891+40801+36451
332989=286813+236381+49411
335009=333701+75703+16901
335527=275827+251437+96263
335693=295187+204641+152377
335857=327983+137239+26083
335941=334057+84751+29453
336317=282059+236111+134587
336587=314129+188653+74933
336631=334057+94889+24109
337277=329243+114749+105253
-------------------------------------------------
340451=304757+209983+123791
341623=312989+187531+137743
343073=246131+239357+227377
345547=266549+254083+180883
345673=287449+214189+197699
346039=328397+177283+76519
346349=346261+31541+6563
-------------------------------------------------
350699=340789+152297+27893
352741=349907+87721+72073
353081=341623+156227+69431
353173=349471+110587+26387
354961=328429+208139+65497
355529=325487+212117+96997
-------------------------------------------------
360023=297793+218681+213989
360511=360187+48809+21499
363359=351653+149491+104711
364127=293633+281249+89413
364937=314453+253789+105143
366343=355501+160117+50957
366409=331367+208993+154369
366467=362977+97169+78041
367369=278617+252823+227609
368729=368291+155003+74531
369959=282011+259183+221021
-------------------------------------------------
370199=321577+229769+174893
372241=365773+125887+86501
372809=342899+225697+8693
373501=321203+250723+149143
373937=361967+167809+51521
374317=368363+135049+3673
374989=309371+274081+136273
375083=282311+252013+242519
376589=288551+271619+210619
376759=361807+172853+98419
376897=332743+239023+144899
377543=320081+275987+67
377779=371617+120557+94477
378101=322403+272537+66841
-------------------------------------------------
380651=356129+214891+40031
381181=371251+161521+14009
381757=366173+151909+144763
383077=366199+168673+132173
383143=334511+246613+156259
384773=380867+110543+71563
386233=326561+231877+217747
386401=386047+46181+39133
388133=332179+249449+184649
-------------------------------------------------
390889=350039+254773+66877
391691=342863+270371+29017
392213=338267+276827+74551
392351=391967+53069+30259
392969=344921+268171+71333
393797=391163+91583+76579
393871=341959+276347+22669
394981=351343+214051+203627
395687=350429+218111+204427
399643=353911+268973+34519
-------------------------------------------------

400,000 < w < 500,000      95個

-------------------------------------------------
400069=372131+225223+102451
401477=370147+231041+118529
402583=340909+294829+2789
403243=359353+263227+97463
403549=401321+85081+77563
403549=390373+174149+98227
407993=393287+192037+6701
408553=404431+126827+14887
409833=389897+207511+72277
-------------------------------------------------
411637=306503+301423+238519
412033=402029+164113+82051
412789=401813+166781+92761
413267=379979+231463+149153
413537=407153+147743+1489
414611=366437+272693+121441
415427=386413+240959+18743
415879=332779+327343+557
416011=382021+252737+46573
416393=371633+274957+43403
416441=356927+298819+40559
417037=401371+198839+20947
417169=335917+322247+107197
418349=417731+57649+50969
418987=357421+302801+50581
419201=412859+118457+117709
-------------------------------------------------
420041=416051+64247+77243
420319=334289+265513+262957
421607=372377+285643+1187
421703=358331+282889+185123
423751=400033+215801+126517
425563=422239+121403+7151
425879=416849+168803+67
426401=417983+135463+126323
427447=419491+131171+126481
427587=417119+155317+123001
-------------------------------------------------
431063=402881+211217+174157
433073=417437+166237+157271
433259=350869+314453+191657
434659=421639+192043+42737
435187=368089+304801+163411
435593=372023+273029+221101
436147=375259+308411+92317
436273=410387+240517+19801
436439=415801+224033+3461
437543=425377+188753+41213
438521=400457+247201+171023
438833=369491+297523+197699
-------------------------------------------------
443587=422549+212161+131797
444449=387551+292753+165041
445229=435103+176549+72617
447179=368231+331781+143743
449807=389891+295787+180289
-------------------------------------------------
450677=449363+92767+347
454889=398711+290593+183761
455647=444487+189271+11969
456353=430357+237851+123377
457381=441121+214007+35533
457679=385739+337189+51551
-------------------------------------------------
460211=449077+190409+10589
461017=359263+347287+213467
462491=457829+138959+65287
462629=402343+311981+152081
462739=461381+95203+19051
463501=436459+248447+103099
463501=411577+263303+226381
464237=446951+220189+44777
465781=465587+49681+15313
467017=442963+209393+179269
-------------------------------------------------
472057=459233+199429+74323
474937=467699+139123+128685
476479=378439+376003+93557
477523=473377+129607+85931
478451=385597+320561+268013
478871=445363+225347+215681
-------------------------------------------------
480167=475301+146527+57059
480203=444701+267647+153487
480499=409753+347989+8237
481001=402071+339341+193189
481417=464647+223247+50923
482501=471533+194911+43577
486943=391693+356561+215689
487013=382069+350423+255641
487831=397337+304903+292471
-------------------------------------------------
490207=417559+355007+63241
490283=380441+350447+270307
492883=486721+147853+106349
493291=410401+327133+251477
494587=400601+374929+158617
495589=455341+262459+209789
495637=471487+250969+104381
497351=487741+161033+141257
499099=469687+274147+47297
499117=467431+250027+187379
499897=473009+233881+184687
499943=440281+335663+121439
-------------------------------------------------

500,000 < w < 580,000      59個

-------------------------------------------------
500483=500231+51197+38047
504221=417419+381169+43457
504479=496901+151141+130973
504991=475273+276553+64853
506899=486037+208217+185677
507301=476603+251473+185593
508637=404213+390359+182353
-------------------------------------------------
510241=472067+301051+70843
511297=482281+271939+111317
511337=424267+358601+223829
511417=486769+211661+207547
512333=501077+185051+132637
513169=460991+320539+161839
513739=512269+96697+63533
516877=456923+341863+139939
518417=419591+394319+160627
-------------------------------------------------
520969=453709+357109+134951
521051=416531+409891+69029
523877=428093+383869+206123
524197=467119+301867+244451
525043=502597+260861+30937
526381=461677+306821+264763
526429=464587+321449+231433
526859=501769+257339+142151
527851=493217+300073+41641
-------------------------------------------------
530017=518779+207241+71837
532801=416833+379081+289847
534571=533111+107671+1789
538651=488611+334493+180267
539167=440549+410143+130843
539653=510217+289063+57173
-------------------------------------------------
541579=442721+377749+262909
542747=536141+161137+116549
543287=524873+230929+151013
543773=533543+176333+150697
543901=498833+332053+54583
546253=504197+321577+116191
548843=463433+366811+254279
548851=495559+350087+89989
-------------------------------------------------
553901=458791+407153+180437
556519=521887+310693+60899
556763=448027+435593+18743
559649=528863+268529+200017
559673=530261+271357+184007
-------------------------------------------------
564359=446969+365107+347003
565553=469769+425779+32309
566521=530443+315883+101723
566963=476237+407971+185027
567961=523641+337453+108727
568439=450529+441527+183263
-------------------------------------------------
572833=560023+230891+27799
573161=531497+333701+99643
574667=521999+362237+23071
575711=533363+324403+170393
575747=573761+110261+85621
576049=503383+354551+266971
576637=490543+416503+113039
578203=487769+420313+144241
579251=443063+414311+330997
-------------------------------------------------

580,000 < w < 593,000      11個

-------------------------------------------------
580079=579563+79669+24527
581101=575173+176977+73751
581237=439367+423509+328921
583019=490991+422453+164071
583873=570527+237163+4783
584141=496259+409951+201731
584599=534241+361463+43711
585071=469253+438391+238267
587467=582761+143779+123007
587849=468719+459013+151157
587897=476981+455717+31039
-------------------------------------------------